🚀 go-pugleaf

Hallo allerseits,
die Auswertung der diesj�hrigen Weihnachtsgeschenke, unter denen sich
auch das Brettspiel Carcassonne (www.carcassonne.de) befand, erbrachte
folgendes Resultat:

Satz von Carcassonne [Melang, 2003]:
Beim Gesellschaftsspiel Carcasonne (Grundversion) gibt es keine
Endkonfiguration bei der alle St�dte fertig sind.
Beweis: Jede fertige Stadt enth�lt eine gerade Anzahl von Kanten.
Damit alle St�dte fertig sind, m�ssen die insgesamt 79 St�dtekanten
der Spielkarten alle paarweise aneinanderliegen. Das geht
offensichtlich nicht.

Weitere Gedanken f�hrten mich zu der
Vermutung [Melang]: Korrigiert der Autor eine Karte geeignet, sodass
der Satz nicht mehr wahr ist, oder ignoriert man diese eine
Fehlstelle, so gibt es ein g�ltiges Rechteck aus den Spielkarten, das
auf einem Torus einbettbar ist und genau einen Weg besitzt.

Mir ist es zumindest gelungen, ein Rechteck mit zwei Wegen zu finden,
aber eines mit einem Weg w�re nat�rlich besser. Ich hatte an jeder
Ecke eine 90�-Kurve zu liegen, die dann auf dem Torus eingebettet ein
Kreis ergeben.

Dabei viel mir folgende Fragestellung aus meinem Sommerurlaub ein, die
ich leider noch nicht vollst�ndig beanworten konnte, aber vielleicht
gibt es ja Ideen dazu:
Wenn man ein Scrabble-Spielbrett auf dem Torus einbettet, also
erlaubt, dass Wort z.B. vor dem rechten Rand anfangen und in der
selben Zeile links weitergehen (unten und oben analog), dann
erm�glicht das Vorkommen von mehreren dreifacher-Wortwert-Feldern in
einem Wort eine astronomische Punktezahl, sodass das Spiel quasi schon
entschieden ist. Frage ist nun, wie man das geeignet verhindern kann
(damit es spannend bleibt). Man k�nnte nur ein solches Feld pro Wort
werten, aber das schr�nkt die effektiv vorhandene Anzahl dieser Felder
sehr ein, weil die an den Ecken alle benachbart sind. Weitere Idee,
von deren Optimalit�t ich nicht �berzeugt bin, ist, die
K�stchensph�ren um den Mittelpunkt (man w�hle eine geeignete Metrik
;-) ) um eins bis drei K�stchen o.B.d.A. mit dem Uhrzeigersinn zu
drehen. Wenn man dazu dann in m�hevoller Kleinarbeit das Spielbrett
(oder ein Kopie davon) zerlegt hat, hat man die kritischen Felder
schon etwas weiter voneinander entfernt. Aber ist das die g�nstigste
und einfachste L�sung?

Ich freue mich auf Antworten und Ideen, Steffen.

ps. Sorry for crosspostings, f'ups bitte nach bln.sci.mathematik .