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Peter Niessen schrieb in Nachricht ...
>"Markus D�rschmidt" <markus.doerschmidt@gmx.de> schrieb
>> Hans Joss wrote:
>>
>> [schnipp]
>> >>Axiom
>> >>[das; griechisch]
>> >>in der alten Logik und Mathematik (Aristoteles, Euklid) ein
>> >>unbeweisbarer, in sich einsichtiger und unbestreitbarer Grundsatz, der
>> >>als Ausgangspunkt f�r deduktive Systeme dient;
>> >
>> >
>> > Siehst du.
>> > Genau wie ich sagte.
>> > Das ist das exakte Gegenteil dessen,
>> > was Mathematiker unter ihren Definitionen verstehen.
>> >
>> > j> so die logischen Axiome.
>> Axiome sind Definitionen, die sich nicht beweisen lassen und auch nicht
>> beweisen lassen m�ssen, da sie einen Grundstein darstellen.
>>
>> z.B. Das erste Axiom der nat�rlichen Zahlen:
>> 1 ist eine nat�rliche Zahl.
>
>Da hat mal so ein Mensch Namens Peano ein kleines B�chlein zu geschrieben :-)


Stimmt ... der Mensch hie� Giuseppe Peano, und er schrieb das B�chlein 1889
in Turin, und sogar auf lateinisch:

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Jahrbuch Project: Copyright (c) 2003 European Mathematical Society

JFM 21.0051.02

Peano, J[osephus].
Arithmetices principia nova methoda exposita a J.  P.  [B]
Torino. Bocca. XVI + 20 S.
Published: (1889)

Der Logikcalc�l ist von verschiedenen Autoren nach abweichenden Methoden
dargestellt worden. Sein besonderes Verfahren ist durch gut ausgew�hlte
Beispiele beleuchtet worden; was man aber nach unserem Wissen noch nicht
geleistet hatte, ist der Nachweis, wie man mit seiner H�lfe eine beliebige
mathematische Theorie darstellen k�nnte. Diese L�cke ist durch die Schrift des
Herrn Peano ausgef�llt worden, �ber welche zu berichten ist.

In einer Einleitung, betitelt ``Logicae notationes'', giebt der Verfasser zun�chst in
knapper, aber sehr klarer Form eine Uebersicht �ber die Principien der
mathematischen Logik, die zum Verst�ndnis des Folgenden n�tig sind. Der letzte
Teil dieser Einleitung ist sehr bemerkenswert; er enth�lt n�mlich die Theorie
jener Abbildungen, deren sich Hr. Dekekind mit so grossem Erfolge in seiner
trefflichen Schrift bedient hat: ``Was sind und was sollen die Zahlen?''

Hierauf kommt der Verf. zu seinem Gegenstande. Er setzt voraus, eine Gruppe von
Individuen (die Zahlen) seien gegeben, definirt durch eine gewisse Menge von
Eigenschaften, die ausreichen, um die ganze Gruppe zu erzeugen, wenn man von
einem seiner Elemente (der Einheit) ausgeht, und um die Eigenschaften der Gruppe
zu beweisen. Die S�tze �ber die Addition bilden den Hauptgegenstand des $\S$ 1
der Arith. Princ.; sodann werden die Subtraction, die Multiplication, die
Potenzirung und die Division bezw. in den $\S \S 2,4,5,6$ vorgef�hrt. Den in den
Logiksymbolen dargestellten Beweisen ist als gemeinschaftlicher Charakter die
Anwendung der vollst�ndigen Induction eigen. Im $\S 7$ findet man unter dem
Titel ``Theoremata varia�� die Fassungen einiger S�tze aus der Zahlentheorie
vereinigt, deren Beweis als eine sehr n�tzliche Uebung dem Leser �berlassen ist.
Der $\S 8$ handelt im Anschluss an das VII. Buch des Euklid von den ``Numerorum
rationes''; der $\S 3$ von den Grundz�gen der Theorie des Gr�ssten und
Kleinsten. Endlich verallgemeinert der eine der beiden letzten Paragraphen die
S�tze �ber die ganzen Zahlen und die Verh�ltnisse f�r die irrationalen Zahlen,
w�hrend der andere ein wichtiger Beitrag zur G. Cantor'schen Theorie der
linearen Punktgruppen ist.

Zum Schluss empfehlen wir die Schrift den Lesern mit der Bitte, sich durch die
Schwierigkeiten, welche die Schlussfolgerungen des Hrn. Peano der folgerechten
Auffassung bieten, nicht abschrecken zu lassen, und mit dem Rate, die Fassungen
und Beweise der S�tze der Arith. Princ. in die gew�hnliche Redeweise zu �bertragen.
Auf solche Weise lassen sich die Vorteile, welche die mathematische Logik bietet,
ad oculos zeigen und auch neue Anwendungen derselben auffinden.

Bemerkte Druckfehler:
$$\matrix
\text{S} & \text{XII} & \text{Zeile} & 2 & \text{statt} & [\kappa] \varepsilon \alpha
&
\text{lese} & \text{man} & [\kappa \varepsilon] \alpha;\\ \text{''} & \text{''}
& \text{''} & 23 & \text{''} & [\varepsilon \alpha] y & \text{''} & \text{''} &
[\varepsilon] \alpha y;\\ \text{''} & \text{XIII} & \text{''} & 18 & \text{''} &
{\bold D} & \text{''} & \text{''} & \varepsilon;\\ \text{''} & 1 & \text{Prop.}
& 3 & \text{''} & a, b, c & \text{''} & \text{''} & a,b;\\ \text{''} & \text{''}
& \text{''} & 4 & \text{''} & a, b & \text{''} & \text{''} & a,b,c;\\ \text{''}
& 12 & \text{''} & 21 & \text{''} & D(a,b) & \text{''} & \text{''} & {\bold D}(a,b).
\endmatrix$$

[ Loria, Prof. (Genua) (Lampe, Prof. (Berlin)) ]

Subject heading: Erster Abschnitt. Geschichte und Philosophie. Capitel 2.
Philosophie und P�dagogik. A. Philosophie.
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Gr��e
    Hermann
--

>mfg peter
>