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\documentstyle[supertabular,german,12pt,twoside]{article}

\title{Methoden der Mathematik}
\author{Jochen Wiedmann\\wiedmann@mailserv.zdv.uni-tuebingen.de}
\parindent 0em
\newcommand{\nlb}{\nolinebreak}
\textwidth 17cm
\textheight 21.5cm
\topmargin -1cm
\oddsidemargin -0.5cm
\evensidemargin -0.5cm
\sloppy

\hyphenation{Nach-rech-nen di-men-sio-nal}

\begin{document}
\maketitle

Vor allem f"ur Anf"anger sind die Methoden der Mathematik doch
recht unverst"andlich und unanschaulich. Es fehlen etwa Beispiele,
die die Methodik der Beweisf"uhrung veranschaulichen.

\section{Ausdrucksweise}

Ein Problem f"ur sich ist bereits die Verwendung und das Verst"andnis
beliebter mathematischer Ausdr"ucke und Redewendungen. Die
wichtigsten (vgl. \cite{Pilz}) sollen deshalb hier kurz
aufgef"uhrt werden :

\vspace{2ex}
\tablehead{Ausdruck & & Bedeutung\\ \\}
\begin{supertabular}{p{7.5cm}cp{7.5cm}}
    Das ist ein interessantes Analogon zu ... & = &
    Ich brauche irgendeine Rechtfertigung f"ur die Publikation\\
    Dies ist f"ur die Anwendung interessant & = & (wie oben)\\
    Die Details seien dem Leser (H"orer) "uberlassen & = &
    Ich bringe sie auch nicht zusammen\\
    Der Rest ist trivial & = & Ich wei"s nicht mehr weiter \\
    Das Problem ist schwierig & = & Ich wei"s die Antwort nicht\\
    Das Problem ist leicht & = & Ich wei"s die Antwort\\
    Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit (\nlb o.B.d.A.) & = & Wir
    behandeln einen besonders leichten Fall\\
    & & oder : Ohne Bedenken des Autors\\
    Der Beweis ist genial & = & Ich habe ihn verstanden\\
    Der Beweis ist interessant & = & Ich verstehe ihn nicht\\
    Der Leser wird bemerkt haben & = & Hoffentlich hat er's nicht
    gemerkt\\
    Der Beweis geschieht durch einfaches Nachrechnen & = &
    Ich habe meine Unterlagen verloren\\
    Dieser Satz ist wohlbekannt & = & Ich finde das Literaturzitat
    nicht\\
    Es wird noch viel Arbeit n"otig sein, bis alle Fragen gekl"art
    sind & = & Ich verstehe es nicht\\
    Es gibt noch keine zusammenfassende Arbeit dar"uber & = &
    Die anderen verstehen es auch nicht\\
    Es ist zu hoffen, da"s diese Arbeit weitere Untersuchungen auf
    diesem interessanten Gebiet anregen wird & = &
    Diese Arbeit ist schwach, aber die anderen Arbeiten auf diesem
    bl"oden Gebiet sind es auch\\
    Dies ist von gro"ser theoretischer und praktischer Bedeutung & = &
    Es interessiert mich\\
    Man mag einwenden, da"s ... & = & Ich habe auf diesen Einwand
    eine so gute Antwort, da"s ich ihn jetzt erheben werde\\
    Der Gr"o"senordnung nach richtig & = & Falsch\\
    Objektiv & = & Meine Ansicht\\
    Subjektiv & = & Die Ansicht der anderen\\
    Ich bin Prof. X f"ur anregende Diskussionen dankbar & = &
    Damit war zu rechnen, da"s dieser alte Trottel wieder was zu
    meckern hat\\
\end{supertabular}

\vspace{2ex}
"Ubungsaufgabe : Man interpretiere\\
- Jedoch, wie wir gesehen haben\\
- Im allgemeinen\\
- Es ist leicht zu zeigen\\
- Der Beweis soll in den "Ubungsaufgaben erfolgen\\
- Trivialerweise\\
- Offensichtlich\\


\section{Der L"owenf"anger}

Im folgenden sollen anhand eines speziellen Problems verschiedene
solche Methoden vorgestellt werden (vgl. \cite{Wille}).

Die Aufgabe ist folgende: Ein Mathematiker soll in der W"uste
einen L"owen fangen. Ein gew"ohnlicher Mensch w"urde sich jetzt
mit einem Gewehr bewaffnen oder gar eine ganze Jagdexpedition
ausr"usten. Nicht so ein Mathematiker \nlb: Selbstverst"andlich l"ost
dieser das Problem ausschlie"slich mit den Methoden seines
"uberlegenen Geistes.
/footnote{Der theoretische Mathematiker ist wie ein Wahrsager, der dem
          Jaeger angibt, in welchem Wald er einen Fuchs
          findet, \cite{Wiedmann}}

\subsection{Die axiomatische oder Hilbertsche Methode}

Der gro"se Mathematiker David Hilbert war stets bestrebt, ausgehend
von einem unumg"anglich notwendigen Minimum an vorauszusetzenden
Tatsachen (\nlb sog. {\bf Axiomen}) ein Problem nur gest"utzt auf
diese zu l"osen. Selbstverst"andlich l"a"st sich das auch hier anwenden:

{\bf Axiom 1} : Die Menge der L"owen in der W"uste ist nicht leer.
\footnote{Bemerkenswert ist, da"s Hilbert selbst hier ein Problem
          bedenken w"urde, das bei den anderen Methoden oft
          stillschweigend "ubergangen wird: Da"s es "uberhaupt
          einen L"owen in der W"uste geben mu"s!}

{\bf Axiom 2}: Sind L"owen in der W"uste, so ist auch ein L"owe im
               K"afig.

{\bf Satz }: Es ist ein L"owe im K"afig.\nlb
\footnote{Dabei wird folgende Schlu"sweise verwendet: Gelten die
          Aussagen $p$ und "` Wenn $p$, dann $q$ "', so
          gilt auch die Aussage $q$.}

\vspace{2ex}
"Ubungsaufgabe: Warum h"angt im Wohnzimmer von Meister
Hilbert trotzdem kein L"owenfell "uber dem Kamin ?


\subsection{Die geometrische Methode}

Wir stellen zun"achst einen K"afig in die W"uste und unterscheiden
dann zwei F"alle:

{\bf 1. Fall}: Der L"owe ist bereits im K"afig. Dieser Fall ist
trivial und wir k"onnen deshalb o.B.d.A.\nlb
\footnote{ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit}
den zweiten Fall annehmen:

{\bf 2.Fall} : Der L"owe ist au"serhalb des K"afigs. Wir setzen uns
in den K"afig und spiegeln K"afig und W"uste an den K"afigw"anden.
Anschlie"send definieren wir den K"afig als W"uste und umgekehrt.
Somit haben wir wieder Fall 1 erreicht.\nlb
\footnote{Es ist dringend darauf zu achten, da"s man sich nicht auf
          den K"afigmittelpunkt setzt, da dieser nach der Spiegelung
          der unendlich ferne Punkt ist.}

\subsection{Die Projektionsmethode}

In der Algebra ist es h"aufig "ublich, eine komplizierte Struktur,
etwa einen unendlich-dimensionalen Vektorraum auf eine einfache
Struktur, z.B. einen endlich-dimensionalen Vektorraum abzubilden.
Auf dem Bild der Abbildung ist das Problem dann unter Umst"anden
einfacher zu behandeln. Dies funktioniert auch hier:

o.B.d.A. nehmen wir an, die W"uste sei eine Ebene. Wir projizieren
die W"uste auf eine Gerade und diese wiederum auf einen Punkt im
K"afig. Da wir nun den Punkt kennen, an dem sich der L"owe
befindet, kann es kein Problem mehr sein, ihn zu fangen.

\subsection{Die Intervallschachtelungs- oder
            Bolzano-Weierstra"s-Methode}

Sei $\varepsilon > 0$.
Nun halbieren wir die W"uste. Der L"owe mu"s sich in einer der beiden
entstandenen H"alften befinden. Diese H"alfte halbieren wir erneut
usw. Wenn wir dabei abwechselnd in Nord-S"ud-, bzw.
Ost-West-Richtung halbieren, so enthalten wir nach endlich vielen
Halbierungen ein W"ustensegment mit einem Durchmesser kleiner als
$\varepsilon$, in dem sich der L"owe befinden mu"s. Es kann kein Problem
sein, dieses Segment mit einer
K"afigwand zu umschlie"sen.\nlb
\footnote{Hier geht das Vollst"andigkeitsaxiom ein: In diesem
          Fall besagt es, da"s sich
          ein L"owe im K"afig befinden mu"s.}

\subsection{Die mengentheoretische Methode}

Die Punkte der W"uste lassen sich wohlordnen. Ausgehend vom kleinsten
Element erwischt man den L"owen durch transfinite Induktion.

Diese Methode ist umstritten wegen der Verwendung des
Wohlordnungssatzes von Zermelo, der "aquivalent zum
Auswahlaxiom ist. Man kann deswegen auch folgendes
versuchen: Man betrachte alle Teilmengen der W"uste, in denen
der L"owe enthalten ist. Mit Hilfe des Durchschnitts aller dieser
Mengen erh"alt man den L"owen.\nlb
\footnote{Hier ist darauf zu achten, beim Durchschnitt nicht das
          sch"one L"owenfell zu verletzen!}

\subsection{Die funktionalanalytische Methode}

Die W"uste ist ein separabler Raum, der also eine abz"ahlbare, dichte
Menge enth"alt. Es kann daher eine Folge ausgew"ahlt werden, die
gegen den L"owen konvergiert.

\subsection{Die Peano-Methode}

Man konstruiere eine Peano-Kurve durch die W"uste, d.h. eine stetige
Kurve, die durch jeden Punkt der W"uste geht. Es ist gezeigt worden,
da"s man eine solche Kurve in beliebig kurzer Zeit durchlaufen kann.
Mit dem K"afig unter'm Arm durchlaufe man die Kurve in k"urzerer Zeit,
als der L"owe ben"otigt, um sich um seine eigene L"ange fortzubewegen.

\subsection{Die topologische Methode}

Der L"owe kann topologisch als Torus aufgefa"st werden. Wir
betten die W"uste in einen vierdimensionalen Raum ein und
deformieren diesen so, da"s bei der Umkehrprojektion der L"owe
verknotet ist. Dann ist er hilflos.

\subsection{Die Cauchysche oder funktionentheoretische Methode.}

Wir betrachten eine regul"are L"owenwertige Funktion $f$ auf der
W"uste. Der K"afig stehe im Punkt $z$. Dann bildet man das Integral
$$\frac{1}{2\pi i}\int_{C}
  \frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi,$$
wobei $C$ der Rand der W"uste ist. Der Wert des Integrals ist $f(z)$,
d.h. es ist ein L"owe im K"afig.

\subsection{Die stochastische Methode}

Man ben"otigt ein Laplace-Rad, einige W"urfel und eine Gau"s'sche
Glocke. Mit dem Laplace-Rad f"ahrt man in die W"uste und wirft mit
den W"urfeln nach dem L"owen. Kommt er dann wutschaubend angerannt,
so st"ulpt man die Gau"s'sche Glocke "uber ihn. Mit Wahrscheinlichkeit
1 ist er dann gefangen.

\section{Vergleiche}

Ein anderes fruchtbares Mittel, die mathematische Methodik zu
er"ortern, ist der Vergleich mit anderen Wissenschaften. Dieser
findet zumeist in sogenannten "`Witzen"' Anwendung.

Selbstverst"andlich lehnen wir solche Verirrungen der ernsthaften
Mathematik prinzipiell ab. Der Vollst"andigkeit halber seien hier
aber einige aufgef"uhrt:

\vspace{2ex}
Ein Soziologe, ein Physiker und ein Mathematiker fahren mit der
Eisenbahn und kommen "uber eine Landesgrenze. Pl"otzlich sehen sie
zwei schwarze Schafe.\\
"`In diesem Land sind alle Schafe schwarz."' bemerkt der Soziologe.\\
"`Irrtum!"' widerspricht der Physiker. "`In diesem Land gibt es
zwei schwarze Schafe!"'\\
"`Typisch Physiker!"' antwortet der Mathematiker. "`In diesem
Land gibt es zwei Schafe, die auf einer Seite schwarz sind.!"'

\vspace{2ex}
Ein Ingenieur, ein Physiker und ein Mathematiker werden einem
"Uberlebenstest unterzogen, indem sie nacheinander eine Woche
mit einer einzigen
Konservendose in einen hermetisch abgeschlossenen Raum eingesperrt
werden.\\
F"ur den Ingenieur ist das kein Problem: Er fummelt ein bi"schen an
der Dose herum, es macht knack und die Dose ist offen. Der Ingenieur
ist also gerettet.\\
Der Physiker untersucht die Dose und die W"ande, vertieft sich dann
einige Minuten unter Benutzung etlicher Formelwerke in seine
Gedanken und wirft dann die Dose in einem genau vorherberechneten
Winkel in die Ecke des Raums: Es macht knack und der Physiker ist
gerettet.\\
Der Mathematiker zieht einen Bleistift aus der Tasche und beginnt
die W"ande vollzukritzeln. Nach einer Woche findet man ihn verhungert
auf dem Boden liegen. Seine letzten Worte stehen an der Wand :
"`Nehmen wir an, die Dose w"are offen ..."'

\vspace{2ex}
Ein Mathematiker und ein Physiker sollen einen Topf von Punkt $x$
aufs offene Feuer r"ucken. Der Physiker nimmt den Topf und stellt
ihn aufs Feuer. Der Mathematiker ebenso.\\
Nun sollen beide einen Topf von Punkt $y$ aufs offene Feuer stellen.
Der Physiker nimmt wieder den Topf und stellt ihn aufs Feuer. Der
Mathematiker nimmt den Topf und stellt ihn auf Punkt $x$ und f"uhrt
das Problem damit auf bereits gel"ostes zur"uck.

\vspace{2ex}
Ein Ballonfahrer f"ahrt
\footnote{Im Ballon, nicht im Auto}
"uber's Land. Irgendwann wei"s er nicht mehr, wo er ist.
Gl"ucklicherweise sieht er einen Mann auf dem Boden laufen.
"`Wo bin ich ?"' schreit er nach unten. Der Mann auf dem Boden
stutzt, "uberlegt kurz und schreit dann "`Im Ballon"' nach oben.
Offensichtlich ist er ein Mathematiker, denn
\begin{enumerate}
        \item er "uberlegt, bevor er etwas sagt
        \item seine Antwort war richtig
        \item sie war v"ollig irrelevant
\end{enumerate}

\vspace{2ex}
Ein Physiker, ein Informatiker und ein Mathematiker sollen
berechnen, was 2+2 ist.

Der Physiker konstruiert aus schiefen Ebenen, Kugeln usw. ein
kompliziertes Me"ssystem und stellt damit 3.99998 als L"osung
fest. "`Me"sfehler sind nat"urlich m"oglich."'

Der Informatiker schreibt ein 24-seitiges Pascal-Programm, das
4.000001 als L"osung ausspuckt. "`Bei der Umrechnung vom Bin"ar-
ins Dezimalsystem und umgekehrt kann es zu Ungenauigkeiten kommen."'

Der Mathematiker vertieft sich in seine B"ucher und schreibt eine
Woche komplizierte Formeln auf tausende von Bl"attern Papier.
Dann hat er bewiesen, da"s die L"osung existiert ...
und eindeutig ist.

\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{Heuser} {\bf Harro Heuser}, Lehrbuch der Analysis I,
   B.G. Teubner, Stuttgart, 1980
\bibitem{Pilz}  {\bf G"unter Pilz}, Algebra, Universit"atsverlag
   Rudolf Trauner, Linz, 1984
\bibitem{Wiedmann}{\bf Wiedmann, Jochen}, Methoden der Mathematik,
   Selbstverlag T"ubingen, 1991
\bibitem{Wille} {\bf Friedrich Wille}, Humor in der Mathematik,
   Vandenhoeck \& Ruprecht, G"ottingen, 1983

\end{thebibliography}
\end{document}