🚀 go-pugleaf

昨夜半、解脱し、ついに真理に到達したような気がしました。

今回は自分の仕事に関連して、普段親しんでいる表現法を少し参考にして問題を考えて
みました。

M_SHIRAISHI wrote:
> 
> さあ、さあ、御立ち会い！
> 
> [Q-1]  Suppose that both of the following (i) and (ii) hold true.
> 
> (i)  : If A holds, then either B or C holds.
> (ii)  : If D holds, then neither B nor C holds.


あの～、非常に基本的な質問がM_SHIRAISHIさんにあるのです。

それは[Q-1]において「ＡとＤはどのような関係にある命題なのか？」ということです。
簡単に言うと「ＡとＤが同時に成立するケース」を考えなければならないのかどうか
知りたいのです。というのはそれによって二通りの回答が可能だと思えるからです。

もしＡとＤが同時に成立しているとすると、少々おかしな事になります。なぜならば
(i)と(ii)が矛盾するような気がするからです。

そこで、本記事では二通り回答をしてみました。一つはＡとＤが完全に独立して真理値
をとりうる場合で、もう一つはＡとＤはお互いにある関係を保っていると考える場合です。


# 以下の記事中 "*"は「論理積」を、"!D"は「Ｄの否定」を表すことにします。
# なお "!"記号はすぐその後の命題を表すアルファベットと結びつく（この場合はＤ）もの
# とします。
# "B + C"における "+"は論理和を意味しているのでありまして、普通の代数における加算
# とは違います。


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【Q-1 回答例Ａ】（ＡとＤはある関係をもつ）
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(ii)より、「Ｄが falseであることが、Ｂ及びＣが trueとなるための条件の一つ」
という解釈をすることにします。具体的には、

(a)Ａが成立するときにはＤは成立しないことにする
(b)Ａが成立しないときにはＤはどっちでもよい

すると以下のような式が導けます。

B + C =  A 　     -------------式１
　　D = !A * X    -------------式２

式２は、ＡとＤとの関係を表しています。すなわち、Ｄが成立するためにはＡが不成立で
あることが必須であるが、Ａが不成立だからといってすぐにＤが成立するとは限らない。
未知の命題Ｘが同時に成立している必要がある。これはＡもＤも不成立となりうる可能性
を実現するためにこのような未知の命題Ｘを置いてあるのです。

> Then select the truths, if any, among (1)- (10).
> 
>   (1)  : If C holds, then D does not hold.

Ｃが成立しているのだから式１よりＡが成立しているはずです。
Ａが成立しているのですから、式２は不成立となります。
   Answer: True


>   (2)  : If D does not hold, then neither does A

式２より、ＸしだいでＡの成立・不成立は関係なくなります。よって、。
   Answer: False


>   (3)  : [If A does not hold, then neither does B] or [If A holds, then so does B].

[If A does not hold, then neither does B]は常に正しい。
[If A holds, then so does B]は必ずしも常に正しくない。"or" で結ばれているので、
   Answer: True


>   (4)  : If B does not hold, then neither C nor D holds.

Ｃは、ＡがTrueならTrueということになります。
   Answer: False


>   (5)  : If C does not hold, then either A does not hold or D does hold.

Ｃが不成立となるケースとしては式１より、「Ａが不成立でＢも不成立である場合」および
「Ａが成立しており、したがってＢが成立している場合」の２通りです。
式２よりＤが成立している必要があります。後者ならばＤが不成立である必要があります。

A does not hold,  so  D does hold
A does hold,      so  D does not hold

   Answer: False


>   (6)  : If C hold despite that D does not hold, then B does not hold.

Ｃが成立することは、Ｂが成立することをいささかも妨げません。
   Answer: False


>   (7)  : If either A or B holds, then D does not hold.

Ｂが成立することはＡが成立することです。したがって式２よりＤは成立しません。
   Answer: True


>   (8)  : [If B holds, then so does A] or [If B does not hold, neither does D].

前半の[If B holds, then so does A]がTrueなので、
   Answer: True


>   (9)  : [If A holds, then so does D] or [If D holds, then so does A].

[If A holds, then so does D]は式２よりFalseです。
[If D holds, then so does A]は式２よりFalseです。
   Answer: False


>　(10)  : If A holds despite that B does not hold, then either C or D does not hold.

Ａが成立すれば、式２より"D does not hold"が常に成立しているのです。
   Answer: True



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【Q-1 回答例Ｂ】（ＡとＤはお互いにまったく無関係に成立しうる命題）
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すると以下のような式が導けます。

B + C =  A 　     -------------式３
B + C = !D * X    -------------式４

式４の意味は「Ｄが成立するなら（つまり!Dが不成立）、"B + C = 0"となって、ＢもＣも
成立しないが、Ｄが不成立だからといって、"B + C"が常に成立するとは限らず、未知の命題
であるＸ次第である。」（あえてＸに対して、ここでは関心を持たないことにします）

> 
>   (1)  : If C holds, then D does not hold.

式４の右辺がTrueである必要がありますので、Ｄは不成立（０）でなければなりません。
   Answer: True


>   (2)  : If D does not hold, then neither does A

式４よりＤが不成立（０）なら、ＢもしくはＣが成立するはずです。これはすなわち式３より
Ａが成立していなくてはなりません。
   Answer: False


>   (3)  : [If A does not hold, then neither does B] or [If A holds, then so does B].

[If A does not hold, then neither does B]は常に正しい。
[If A holds, then so does B]は必ずしも常に正しくない。"or" で結ばれているので、
   Answer: True


>   (4)  : If B does not hold, then neither C nor D holds.

Ｃは、ＡがTrueならTrueということになります。で、その場合は式４からＤは不成立でなけれ
なりません。一方Ａが不成立で、したがってＣも不成立の場合、式４よりＤが成立している
必要があります。結論として、ＣとＤの両方共が不成立であることはありえません。

   Answer: False


>   (5)  : If C does not hold, then either A does not hold or D does hold.

Ｃが不成立となるケースとしては式３より、「Ａが不成立でＢも不成立である場合」および
「Ａが成立しており、したがってＢが成立している場合」の２通りです。
前者なら(B + C)は不成立ですので、式４よりＤが成立している必要があります。後者ならば
Ｄが不成立である必要があります。整理すると、

A does not hold  ->  D does hold
A does hold      ->  D does not hold

   Answer: False


>   (6)  : If C hold despite that D does not hold, then B does not hold.

Ｃが成立することは、Ｂが成立することをいささかも妨げません。
   Answer: False


>   (7)  : If either A or B holds, then D does not hold.

式３よりＡが成立すれば、ＢかＣが成立します。したがって式４よりＤは成立しません。
   Answer: True


>   (8)  : [If B holds, then so does A] or [If B does not hold, neither does D].

前半の[If B holds, then so does A]がTrueなので、
   Answer: True


>   (9)  : [If A holds, then so does D] or [If D holds, then so does A].

Ａが成立すれば式３および４の左辺が成立していることを意味します。そしてそれは式４より
Ｄが不成立でなければならないことを意味します。よって、
[If A holds, then so does D]はFalse。
Ｄが成立していれば逆に式４からＢもＣも不成立であることは明らかです。よって式３から
Ａは不成立でなければなりません。よって、
[If D holds, then so does A]はFalse。
   Answer: False


>　(10)  : If A holds despite that B does not hold, then either C or D does not hold.

Ａが成立すれば式３よりＢかＣが成立していることがわかりますが、条件よりＣのみが成立
していることになります。これは式４でＤが常に不成立であることを意味します。よって、

   Answer: True


ということで[Q-1]の回答を二通りのやり方でやってみた結果を比べたところ、なんと

【回答例Ａ】
ＴＦＴＦＦＦＴＴＦＴ

【回答例Ｂ】
ＴＦＴＦＦＦＴＴＦＴ

となりました。まったく同じ結果でした。
これは何故かと考えてみたのですが、ようするにM_SHIRAISHIさんの質問に、

"If A and D hold at the same time, then ........."

という形式の問題が無いからつじつまが合っているようですね。


玉川厚徳