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初めまして、和地＠北大数学D2と申します。少し長めの記事です。

>島田＠阪大と申します．
>
>ある行列の行列式の導出で悩んでいます．お知恵をお貸し下さい．
>
>P  : N×N 正定対称行列（共分散のようなものとお考え下さい）
>X  : N×1 ベクトル
>Xt : Xの転置（1×Nベクトル）
>q  : スカラー
>I  : N×N 単位行列
>
>としたときに，以下の等式がある論文に出てきました．
>
>        det| I - qPXXt / ( 1 + qXtPX ) | = 1 / ( 1 + qXtPX ) - (*)
>
>この(*)式の左辺から右辺をどうやって導けばよいでしょう？


q = 0 の時は成立しているので、q != 0 の時を証明します。

STEP 1
s = 1/q + XtPX とおいて、 (*)式を変形すると、

    (*)左辺 = det [ I - PXXt / s ]
            = det [ s.I - PXXt ] / s^n
    (*)右辺 = 1 / qs
            = ( s - XtPX ) / s

従って、次を示せば良いことになります。

    det [ s.I - PXXt ] = s^(n-1) ( s - XtPX )    --- (***)

つまり、行列 PXXt が固有値 0 (n - 1 重) , XtPX (1 重) 
を持てば良いことになります。

STEP 2
ei = (0,..., 1 ,...,0)t (i 番目の標準基底)とし、
X = x1.e1 + ... + xn.en (x1,...,xn はスカラー)、
y = y1.e1 + ... + yn.en (y1,...,yn はスカラー)とおきます。
(.はスカラー倍の意味)

    PXXt ei = PX xi = xi.PX
であるから、
    PXXt y = PXXt ( y1.e1 + ... + yn.en )
           = (y1 x1 + ... + yn xn) PX
となります。（この式で、ピンとくれば以下は蛇足です）

ここで、ei や y や X の属する n 次元ベクトル空間(Vとします)の
二つの部分空間を考えます。
    V1 := ( X と 直交する部分空間 ) = { z in V : Xt z = 0 }
    V2 := { PX のスカラー倍であるベクトル }
PX = 0 の時は(***)は明らかなので、PX != 0 とします。
従って X != 0です。すると、
    dim V1 = n - 1
    dim V2 = 1
です。
V1 は固有値0 のベクトル（全体とは限らない）からなる空間です。
V2 は y = r.PX (r はスカラー) とした時、
    PXXt y = PXXt r.PX
           = r.PX XtPX
           = XtPX r.PX
           = XtPX.y
なので、固有値 XtPX のベクトル（全体とは限らない）からなる空間です。
XtPX は P が正定値対称で、X != 0 なので、正の実数です。

V1,V2 は固有値が異なるので、和は直和で
V = V1 + V2（固有空間分解）となります。

以上で(***)、従って(*)式が証明されました。

最後に。ちょっと暇つぶしに証明してみたので、ミスはあると思いますが、
特性多項式に持ち込む方法は、使えるのではと思います。

>さらにXが N×M行列の場合には，右辺に相当する式は
>
>        det| In - qPX( Im + qXtPX )^(-1)Xt |  - (**)
>
>        ( In: nxn, Im: mxm の単位行列)
>
>に手元の計算ではなりました．この式(**)を最小にするqを求めることが
>必要なのですが，こいつもなんとかならないでしょうか？

また、(**)式は考えていません。

長い記事で申し訳ありません。それでは、失礼します。