🚀 go-pugleaf

柳瀬@阪大と申します。

すでに結論は得られたようですが、(1)については次のような解釈もあります


|   a    b   | |sqr(2)|     | s | 
|            | |      |  =  |   |
|   c    d   | |   1  |     | t |

という行列と見てみましょう。

すると、問題は 

( sqr(2) 、1) というベクトルがどこか格子点のうえに
有理数係数の行列によって移りえるか? 

という事になります。

ここで行列式をノンゼロとすれば、左辺の行列には逆行列が存在して、
両辺に左からそれをかけてみると．．．

もうお分かりでしょう。sqr(2) が有理数で表現できる事になって矛盾、です。


あともんだい(2)について。

まず、桜田さんの指摘にあった(1)は問題の前提なので、
書かなくてもよいです。

A^3が単位行列であると言う事は、A の逆行列は A^2 であると言う事です。
つまり逆行列の公式から、行列式が1なので A^2 のトレースも同じだと言う事ですね。
よって、ケーリーハミルトンにより、次の二つの等式が得られます。

  A^2 - t A + E = O
t A^2 - A - A^3 = t A^2 - A - E = O

Eを消去して整理すると、

(1 + t)A(A - E) = O

さらに A^2 を左からかけて

(1 + t)(A - E) = O

よって、A = E or t = -1 を得ます。

問題はトレースを求めよとの事だったので、
実例はいらないような気がしますが...

まあ、欲しかったら実際に手を動かせば出てくるでしょう。


______
大阪大学理学研究科数学専攻修士一回 柳瀬大輔
e-mail : smv048yd@ex.ecip.osaka-u.ac.jp