🚀 go-pugleaf

柳瀬@阪大です

>　ｐを素数とし、（ｎ，ｐ）＝１であるような有理数ｍ／ｎ全体
>の集合をＲとする。Ｒは単項イデアル整域であることを示せ。

話を抽象化します。

pが素数である ---> 整数環 Z 上で(p) が素イデアルである

(n,p)=1 ----> nはpの倍数でない -----> S := {n \in Z | (n,p) = 1}
                                             はZ上(p)の補集合である 

更に、SはZ上積閉(つまり、Sの中で積の演算について閉じている)
である事に注意しておきます。

さて、問題のRはSによるZの商環と呼ばれるものです。定義は

R = S^{-1}Z = { m/s | m \in Z , s \in S}
    ^^^^^^^
   こう書きます


に次の同値関係をいれたものです

m/s ~ n/t   <--->  mt - ns = 0

(本当は元の環が整域でない場合は上の定義は少し違うものになりますが、この場合はZが整域なのでこの定義を採用します。)

うえの定義からRが整域である事は明らかです。問題はPIDである事です。

しかし、このことも次の準同型を考える事で、ほぼ明らかでしょう。

f : Z ---> R ( n |----> n/1 )

a を R のイデアルとします。しからば、

f^{-1} (a) = Z \cap a 

は明らかに Z のイデアルです。
 Z はPIDですから、Z \cap a も単項イデアルです。あとは 

  a = ( Z \cap a )R

を示せば Z \cap a が単項ですから(これは簡単なので、省略します)
 a も単項となります。


関連の話題として、

一般の環R上で商環を定義するわけですが、pを素イデアルとすれば
 ( R - p )  は積閉集合となります。このときのRの ( R - p ) による商環を

 R の p による局所化

といい、R_p と書きます。実際、R_p は局所環で、
 pR が R_p のただひとつの極大イデアルとなります。

_______
大阪大学理学研究科修士一回 柳瀬大輔
e-mail : smv048yd@ex.ecip.osaka-u.ac.jp