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こんにちは、齊藤＠東大です。

In article <4rivpn$pno@news.tut.ac.jp>
akimoto@sirius.tutkie.tut.ac.jp (Ken'ichi Akimoto) writes:

> ◯、△、□、は0～9の数で、互いに異なる数とします。
> ？は0～9の全ての数を示します。
> このとき、◯が一つ以上ある4桁の数の組合せはいくつになるのでしょう？
> (◯？？？、や？◯◯？という組合せです。)

> また、◯、△、□の全部の合計組合せ数はいくつでしょう？
> (例えば、◯？？？の中には△？？？の△◯？？や□？？？の□◯？？も含まれ、
>  ◯？？？⊃◯△？？、◯△？？⊂△？？？という包含関係があります。
>  つまり、4桁の数のうち、◯、△、□のうちどれかが一つ以上ある組合せ数です。)
>
> さらに、◯、△、□、×、と、一つ要素が増えた場合の
> 合計組合せ数はいくつになるのでしょう？
>
> 3桁までの同様な問題は解けましたが、
> 同様な手段で4桁の問題を解こうとすると組合せが多くて、
> わからなくなってしまいます。
> どなたかスマートな御回答を教えてください。
> #ｎ桁の時はどうなるのか？

n = 桁数
a = #{◯_i}　（◯、△、□、×　等の数）
d = #{0, 1, …, 9}　（数字の種類 = 10）
とすると、求める答えは
　 n
　Σ (nＣi) a^i (d-a)^(n-i)
　i=1
となります。


考え方：

d = 10, n = 4 の場合の例を考えます。
◯、△、□、×　等をまとめて「◯」で、
またそれ以外の数字を「！」で表すことにします。

　　　「◯の位置」×「◯の種類」＾「◯の数」×「！の種類」×「！の数」
◯！！！　(4Ｃ1)　×　a 　　　　＾　1 　　　×　(10-a)　　×　3
◯◯！！　(4Ｃ2)　×　a 　　　　＾　2 　　　×　(10-a)　　×　2
◯◯◯！　(4Ｃ3)　×　a 　　　　＾　3 　　　×　(10-a)　　×　1
◯◯◯◯　(4Ｃ4)　×　a 　　　　＾　4 　　　×　(10-a)　　×　0

これらを全部加えれば、求める答えになります。

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齊藤高明 takaaki@is.s.u-tokyo.ac.jp
　東京大学 理学部 情報科学科 ３年