🚀 go-pugleaf

smv026at@ex.ecip.osaka-u.ac.jp wrote:
> 
> 大阪大学の天野と申します。
> 高校のときから何回か計算していて、結局、解答に確信のないままに
> なっている問題があります。
> 
> 問題
>  1辺が1の立方体がある。この立方体の対角線(長さがsqrt[3]のもの)
> を軸に回転させたとき、この立方体が通る部分の体積
> (こまの様に回っている回転体の体積)をもとめよ
> 
> というものです。
> どなたか、きちっとした解答をしてみてください。
> (ちなみに私は  有理数倍の sqrt[3] Pi になっていたような気がします)

きっちりしていないのですが.

立方体を 0<=x<=1、0<=y<=1、0<=z<=1 の部分とします.
回転軸を (0,0,0) - (1,1,1) とします.
回転軸上の任意の点 (t,t,t) (0<=t<=1) の周りでの回転半径を求めます.
    立方体を回転させたときの表面の軌跡は、立方体の辺が作ります.
     --　厳密に言えば、これも証明しなければならないのでしょうが
    回転半径の求め方は省略します.
    回転半径= sqrt(6 t^2)          (0<=t<=1/3)
              sqrt(6 t^2 - 6t +2)  (1/3<=t<=2/3)
              sqrt(6 (1-t)^2)      (2/3<=t<=1)
すると、(t,t,t)での回転軸に垂直な断面の面積がもとまります.

l = (t,t,t) - (0,0,0) の長さ = sqrt(3) t として、
体積 = integral (0,sqrt(3)) Pai * 回転半径 dl
     = integral (0,1) Pai*回転半径*sqrt(3) dt
途中での計算を省略して、私の計算が合っているならば、
     = sqrt(3)/3*Pai

-- 
中内英裕