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  そろそろいいでしょう。

Newsgroups: fj.sci.math における Subject:
       [Q] Fractional approximation of
        a solution 'a' of a^4-a^2-1=0
のフォロー記事群のサマリです。

＃長いです。

//////////////////// 目次 ////////////////////////

０． 元記事 <4qoijp$gj@inetgw.gb.sankyoseiki.co.jp>
　　の狙い
１．フォロー，成果
  (1) 分子・分母十分な桁数の近似分数を共有できた
  (2) いくつかの基本的発想法を共有できた
  (3) 若干の文献が挙がった
２． 残る課題

////////////////// サマリ本文 ////////////////////

０．元記事 <4qoijp$gj@inetgw.gb.sankyoseiki.co.jp>
   の狙い

  I. extreme and mean ratio ≒ golden ratio の
     平方根は, どんな無理数か ?

 II. ２次曲線のバイアスのかかった‘ひんまがった’
     格子に直線を引いたとき，その直線がどのような
     格子点の近くを通るかが系統的に求まるモノか ?

III. このような問題は読者の気晴らしとして適切か ?

  III.の見地から, 最初, これらの点には触れません
でした。なお念のため, 内容は業務とは無関係です。

////////////////////// １ ////////////////////////

１．フォロー，成果

  まず Title に偽りあり（以下ご指摘の通り），
 お詫びかたがた訂正いたします。
＃ところどころ改行位置を変えてあります。

In article <KUMON.96Jun28092708@asami.flab.fujitsu.co.jp>,
 kumon@proc.flab.fujitsu.co.jp (Kouichi Kumon) said...
>＃この4次式は実解は2つしかないですよねぇ。
>＃±14/11は良いとして±11/14は
>＃近似値とは言えないんじゃないでしょうか？

  a^4 - a^2 - 1 = 0 に関してはその通りです。

In article <4qqcfi$rq1@epsongw.epson.co.jp>, K.Oguchi said...
>11/14 が入っているので、
>        a^4 ± a^2 - 1 = 0
>ですね。

  こう書きたい気持ちが混ざっていました。
  お騒がせいたしました。
  この場を借りて訂正いたします。

＃  以下は‘主に’ a^4 - a^2 - 1 = 0 の根 'a'
＃に関する内容ですが, 必要に応じ記事を遡って
＃ご確認をお願いします。サマリの意味がない!?

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  次に, フォロー記事中の解決手法・発想法について,
当地到着記事の Date: フィールドをつてに, 編年体で
振り返りつつまとめます。
＃元記事は Date: 25 Jun 1996 11:30:01 GMT です。
＃ところどころ改行位置を変えてあります。


Message-ID: <KUMON.96Jun26091456@asami.flab.fujitsu.co.jp>
From: kumon@proc.flab.fujitsu.co.jp (Kouichi Kumon)
Date: Wed, 26 Jun 1996 00:14:56 GMT
>
>Newton 法。


Message-ID: <4qqcfi$rq1@epsongw.epson.co.jp>
From: K.Oguchi <oguchi.keiichiro@senet.ha.epson.co.jp>
Date: 26 Jun 1996 03:57:38 GMT
>
>        127/100,1272/1000....
>または、
>  a = n / m
>  n = √((√5 ± 1) / 2) * m の小数点第１位で
>      四捨五入


Message-ID: <O3M.96Jun26150246@igamo.eri.u-tokyo.ac.jp>
From: o3m@eri.u-tokyo.ac.jp (H'Osamu)
Date: 26 Jun 1996 06:02:46 GMT
>
>>        127/100,1272/1000....
>
>この場合、近似値の誤差の限界は 1/(分母) 程度。
>しかし、「連分数展開」なるものを応用すると、
>誤差の限界がさらに小さくなる


Message-ID: <DtLMtv.3wq@psv.seg.co.jp>
From: katsura@psv.seg.co.jp (Eiji KATSURA)
Date: Wed, 26 Jun 1996 08:41:54 GMT
>
>この種の近似は、連分数展開を使うのが定石


 ...以上の早期のフォローで‘モジュール’は
  ある程度出揃った感がありました。

・グラフを書けば分かるように，数値的には
　Newton法が根を求めるのに有効 (久門)
・系統的な方法として連分数展開 (桂,星野)
・コンピューター上では最終的には（または
　あきらめがよければ）桁落とし (小口)

 この時点では, 上記の記事から
   桂( or 星野) | 久門 > 小口
くらいのサマリを考えていました。

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 少し遅れて久門さんの次の記事が届きました。
自分の考えたサマリよりよほど内容が豊かで，
近似の具体形も示されていました。
＃改行位置を変えてあります。


Message-ID: <KUMON.96Jun28092708@asami.flab.fujitsu.co.jp>
From: kumon@proc.flab.fujitsu.co.jp (Kouichi Kumon)
Date: Fri, 28 Jun 1996 00:27:08 GMT
>
>連分数展開を使って多項式の解の近似値を求める方法
 (中略)
>これだと、最初に数値解を求める必要はなくなります。
>しかし、途中計算の数値が大きくなりがちで、
>bignumが欲しくなるかも知れません。
>
>それを使って求めた分数近似解は以下の通りです。
>
>この表に14/11を初期値として、f(x)=x^4-x^2-1=0 を
>ニュートン法の分数計算による実行での結果も併記
> 
> #インデントを#  1
> #(好みで)#    4/3
> #変えます#    5/4
> #久門さん#  14/11       ←ニュートン法初期値
> #ごめん#  159/125
> #なさい#  491/386
>         2614/2055
>         3105/2441
>       33664/26465
>       36769/28906
>      107202/84277       ←ニュートン法一回実行
>     572779/450291         ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
>   1825539/1435150          (この件  後に補足)
>   9700474/7626041
>  11526013/9061191

  ここで, 連分数展開では, 9700474/7626041 =
[1, 3, 1, 2, 11, 3, 5, 1, 10, 1, 2, 5, 3, 5]
となることに注意します。
 
>連分数展開の特徴として、真の値との絶対誤差が
>(1 / 分母^2)以下である事が分かっています。

  証明は容易ですが, 以下に挙げる文献にも見え
ますから, ここでは略とします。

>上の例の場合ニュートン法を一回行なったものは
>連分数展開で出てくる値を取っています。しかし、
>初期値を適切に取ったとして、ニュートン法が一
>般に連分数展開で出現する有理値を取るのかどう
>かは知りません。

  自分で追計算したところでは，
 106173/83468 = [1, 3, 1, 2, 11, 3, 21, 3, 3]
が「14/11を初期値としてニュートン法を１回実行
した場合に得られる分数」で，既に最良近似では
ありません。話が合いませんが...

＃要するに「久門さんのいう‘ニュートン法’」が
＃わかっていない, ということも大いにあり得ます。

＃＃ なお, a^4 - a^2 - 1 = f(a) としたとき
＃＃                  f(a + f(a)) - f(a)
＃＃  f'(a) にかえて  ------------------
＃＃                         f(a)
＃＃とおいた‘ニュートン法’ではないことは,
＃＃すでに確かめています。

＃＃＃  はっ...まさかこれが文字化け^H^H^H^H^H

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  ここまでの結果からいわずもがなの感想を書けば
連分数近似[1,3,1,2,11,3,5,1,10,1,2,5,3,5,...]
は自然対数の底 e ほどに美しくはなく, 円周率π
[3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,...]
の程度のようです。かといってπに対する 292 の
ような特徴的な数字はここまででは見あたりません。
もう少し先まで計算すれば, あるとき突然よい近似
が表れるのかもしれません。

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  文献に関しては
 ¶高木貞二, 初等整数論講義,
   共立出版, ISBN4-320-01001-9,
   第２章 §27. (第２版では pp.169～173)
   方程式の実根の計算に連分数を応用すること
 ¶中村義作(‘中山’は偽), 数の世界,
   海鳴社(モナド・ブックスか?), ISBN不明
が挙げられました。後者の補足として入手容易な
 ¶一松信, √2の数学,
   海鳴社(モナド・ブックス58), ISBN不明
を挙げてもいいのではないでしょうか。
  上述の連分数による近似の精度や, 星野さんの
例示されたような２次無理数に対する連分数表現
まわりの美しい理論が, どれにも示されています。

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  さて以上が読者のよい気晴らし足り得たかは,
ちょっとわかりません。コメントかたがた評価を
頂ければ幸いです。
＃大学の理系の新入生あたりがくるかと予想して
＃いたのですが...

/////////////////////// ２ ///////////////////////

２．残る課題
 (1) 「14/11を初期値として, ニュートン法を１回実行
     した場合に得られる分数」106173/83468 の意味の
     解明 (中間近似分数として意味付けができるか ?)
 (2) 久門さんの‘ニュートン法’の導出
     (見落としで単純に初期値の問題かもしれないが)
 (3) もう少し先への計算
 (4) 必要に応じ, 本サマリの追加改訂

＃さてわたしはこれらをちゃんと解決するでしょうか?
＃しないだろうな...(永遠の課題として残る確率～1)

////////////////////// 謝辞 //////////////////////

最後になりましたが，フォローをいただきました

   久門耕一＠Pプロジェクト部.富士通研究所

   /|   SEIKO EPSON CO.  Watch Design Dept.  |\ /|
  /@|<]          Keiichiro Oguchi            | X |

   HOSHINO.OSAMU@EIC.ERI.TODAY

   桂 英治＠(株)横浜インテリジェンス
# こちらの桂さんで宜しいのですよね

以上の皆様(敬称略)に感謝いたします。


/////////////////////// 終 ///////////////////////



-- 
SUGIHARA, Hiroshi
 SANKYO SEIKI MFG.CO.,LTD.  Nagano 393 Japan
   E-mail: sugihara@gb.sankyoseiki.co.jp