🚀 go-pugleaf

小口と申します。

<HAS.96Jun14193847@dragon>の記事において
has@rd.nacsis.ac.jpさんは書きました。

> > 　もし次の問題が出来たら、このネット上に公表して頂けませんか？
> > 「一辺が１である立方体が一平面で二分されるときの断面積の期待値を求
> > めよ。」
>
>上記の条件だけでは確率は定義できんです。

と、私も思いました。

> > ＰＳ　半径が１の球で同じ事を考えると、これは高校の積分の問題になり、
> > 計算はすぐなのですが。
>
>これも、本当は答えはないです。球がどう切られるのか、わからん
>からです。

こちらに、回答（解き方を含め）をついていれば、
同じ考え方で上の問題は定義されているのだな、
と推測して解けるのですが。


と云っててもなんですので、
最初に、球の方から私の得た印象
  体積 4*π/3 を直径 2 で割って、2*π/3 てこと（？！）
に沿った回答を示します。
（以下の記述において、式に１ヶ所しか、'/'がないところについては
　括弧を省略しています。つまり、
    (...)/(...)
  と書くべき所を
    ... / ...
  としています）

重心から見た立体角 Φ を法線方向とし、重心からの距離 t の平面によって、
物体を切る面積を S(Φ,t) としたときの、確率関数 P(Φ,t) を
  P(Φ,t) = H(S(Φ,t)) / ∫dΦ∫dt H(S(Φ,t))
とします。ここで、H(x)は
  xが正ならば、H(x) = 1、それ以外は、H(x) = 0
という関数です。
このとき、期待値 s は
  s = ∫dΦ∫dt S(Φ,t)*P(Φ,t)
    = ∫dΦ∫dt S(Φ,t) / ∫dΦ∫dt H(S(Φ,t))
               ( S(Φ,t)*H(S(Φ,t)) = S(Φ,t) )
となります。

球や立方体の場合、重心まわりの対称性から、Φ に寄らず
  ∫dt S(Φ,t) = V / 2   (V : 体積)
なので、期待値 s は
  s = V*∫dΦ / 2*∫dΦ∫dt H(S(Φ,t))
です。さらに球では、Φ に寄らず
  ∫dt H(S(Φ,t)) = R   (R : 半径)
なので、
  s = V*∫dΦ / 2*R*∫dΦ
    = V / 2*R
となります。

さて、立方体に話を戻します。
座標系を設定します。重心を原点とします。
立方体の各辺に水平な x,y,z 軸をもつデカルト座標系、及び、
球座標系 (r,θ,φ) を考えます。
２つの座標系の間の関係は
  x = r*sin(θ)*cos(φ)
  y = r*sin(θ)*sin(φ)
  z = r*cos(θ)
です。球座標系を用いると
  dΦ = sin(θ)dθdφ
と出来ます。
対称性から、x,y,z > 0 の領域 (0 < θ < π/2 , 0 < φ < π/2) について
計算します。
  ∫dΦ = π/2
ですので、
  s = π / 4*∫dΦ∫dt H(S(Φ,t))    (V = 1)
    = π / 4*∫sin(θ)dθ∫dφ∫dt H(S(θ,φ,t))
です。ここで、∫dt H(S(θ,φ,t)) は、(θ,φ) 方向を法線方向とする面が
  原点を離れて、立体との共通点を失うまでの距離
であり、今考えている領域では、この面は
  必ず、立体との共通点を失う瞬間には、
  点 (x,y,z) = (1/2,1/2,1/2) を通っている
ので、つまり、∫dt H(S(θ,φ,t)) は
  (θ,φ) 方向を法線方向とし点 (x,y,z) = (1/2,1/2,1/2) を通る面と
  原点との距離
です。この距離を L(θ,φ) とすると
  s = π / 4*∫sin(θ)dθ∫dφ L(θ,φ)
です。原点からかかる面に降ろした垂線の足を
  (x,y,z) = ( L*sin(θ)*cos(φ),L*sin(θ)*sin(φ),L*cos(θ) )
とし、この点と点 (x,y,z) = (1/2,1/2,1/2) と原点とで
作る直角三角形を考えると
  3*(1/2)^2 = L^2
	      + [ {L*sin(θ)*cos(φ) - (1/2)}^2
		 +{L*sin(θ)*sin(φ) - (1/2)}^2
		 +{L*cos(θ) - (1/2)}^2          ]
なので、
  L(θ,φ) = sin(θ)*cos(φ)+sin(θ)*sin(φ)+cos(θ) / 2
となり、
  ∫sin(θ)dθ∫dφ L(θ,φ) = 3*π/8
であり、結局
  s = 2/3

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