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宮崎といいます．
杉木＠千葉大(93s1018@g.math.s.chiba-u.ac.jp)さんが
<4f98ul$7h7@ayame.ipc.chiba-u.ac.jp> で次の問題を出しました．
>  一般にｎ次元球の超体積を半径で微分すると、超表面積になるのだと
>  思いますが、どのように証明したらよいのかわかりません。

これについての橋本さんのコメントについて一言．
杉本さんのその後の記事 <4fegmj$cgi@ayame.ipc.chiba-u.ac.jp> にも
触れます．

In article <B0512.96Feb9133824@bhind.nibh.go.jp>, 
b0512@nibh.go.jp (Ryoichi HASHIMOTO) says:
>橋本＠生命研と申します。
>途中省略
>昔読んだ多変数解析の教科書では、n 次元ユークリッド空間における(n-1)次
>元超曲面の面積の定義として、体積の法線方向の微分として定義してありまし
>た。ほかの教科書でもほぼ同じだと思います。

うーん，これが超曲面の面積の定義というのはちょっと．
曲面が立体を囲んでない時，たとえば３次元空間の中の球面の一部の面積
は
どう考えるのでしょう．
曲面が立体を囲んでない時にも通じる定義に基づいて，
曲面が立体を囲む場合について上の結果を導くのならわかります．
では，どう定義すれば良いかというと．．．
厳密には微分形式や多様体や計量の定義をする必要があるけど
考え方は，橋本さんが続けて書いたことに含まれている．
>
>具体的には、接超平面の(n-1)次元微小平行６面体の体積の定義を、その点で
>の単位接ベクトル方向に脹らませてできるn次元平行６面体の体積として定義
>する。曲面全体の面積は微小面積を積分して得る。
>接超平面の (n-1)次元 微小平行六面体（実は 2(n-1)面体）の体積は，
脹らませなくても定義できます．
接超平面というのは (n-1)次元のユークリッド空間です．
だからそこに含まれている (n-1)次元平行六面体 の体積は普通に計算で
きる．
よって，(n-1)次元の微小体積を (n-1)次元超曲面 全体で (n-1)重積分し
て 
(n-1)次元超曲面の (n-1)次元体積 がもとまる．これが（表）面積．

「体積を微分して表面積」というのはどんなリーマン多様体でも
適当な定式化のもとで成立します．
証明は <4feh7l$f7@cck11.cck.dendai.ac.jp> の議論とほとんど同じで
す．
考えなくてはいけないのは
１．体積をどういう変数の関数とみるのか．
２．断面積を積分すると体積になるのはなぜか；言い換えると
　　２重積分を累次積分（繰返し積分）で計算できるのはなぜか
です．

キーワードは「直交」（あるいは法線方向）と「フビニの定理」です．