🚀 go-pugleaf

桂と申します。

In article <WAKAMATU.96Feb5234430@seri.kurims.kyoto-u.ac.jp>
wakamatu@kurims.kyoto-u.ac.jp (Wakamatsu Kazuhiro) wrote:
> そこで、あとは「円の周囲の長さ」を「正多角形の周囲の長さ」の角数を
> 増やしていった極限と定義してやれば半分はおしまい。
> （残りの半分はこれが収束することを示すこと。古代人はそんなことは
> 考えなかったでしょうけど）

たぶん、このコメントが混乱のもとなんだと思うけれど、
当時の議論では、極限というよりは上限というニュアンスで
話していたはずだし、内接多角形だけでなく、外接多角形の
両側から、評価していたはずです。

＃ HDのトラブルでそのころの記事は紛失してしまったけれど。

In article <CHIAKI.96Feb19061624@kitipc.ipc.kit.ac.jp>
chiaki@ipc.kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki) wrote:
> 古代人が自明と考え(?),  私が気にするのは
> 円の周より外接多角形の周の方が長いことの証明です.

アルキメデスの「球と円柱について」の第１巻命題１は
まさに次の命題です。

% 命題１ もし円の回りに多角形を外接させるならば、外接多角形の
% 周は円周よりも大きい

# 証明の方は手元の抄訳では省かれているのでなんともいえませんが、
# 他の部分から想像すれば、内接多角形の辺の長さより外接多角形の
# 辺の長さの方が大きいことに帰着しているのだと思います。

収束性については、命題３で述べています。

% 命題３ 二つの不等な量と一つの円が与えられている時、円に多角形を
% 一つは内接させ、他は外接させて、外接多角形の辺の内接多角形の辺に
% 対する比が、より大きな量のより小さな量に対する比よりも小さく
% なるようにする事ができる。

In article <WD.96Feb21144312@hokke.e.ics.nara-wu.ac.jp>
wd@e.ics.nara-wu.ac.jp (Hiroyasu Kamo) wrote:
> ところで、この二つの隠れた仮定について、アルキメデスたちがどの程度意識
> していたかは、数学史の問題として面白いと思います。アルキメデスの公理を
> アルキメデスの時代の人が意識していなかったことは明らかでしょう。

アルキメデス本人が意識していたことは、ほぼ間違いありません。

同じく、「球と円柱について」の第１巻命題１の直前の仮定では、

% 仮定 私は以下のことを仮定する。
% １) 同じ限界を持つ線のうちで最小のものは直線である。
(略)
% ５) そして、不等な線や不等な面や不等な立体の内、大きな方が
% 小さな方にまさる超過分はそれ自身を幾たびか結合すれば、互いに
% 比較可能な諸量の中からあらかじめ任意に定められた量を越える
% ことにすることができる。

と、はっきりかかれているし、「螺旋について」の序文においても、
上の条件が仮定であることを強調しています。

# 翻訳の引用はすべて、「世界の名著 9 ギリシャの科学」 中央公論社
# 1972 からの引用(三田博雄 訳)です。
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桂 英治 KGH07045@niftyserve.or.jp