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桂です。

$\oint {1 \over x} dx = 2 \pi i$（いわゆる周期積分）
を\piの定義とするのも一つの方法ですね。

積分の解釈を変えれば、\piが違った値になる可能性も
否定はしませんが、空間がちょっと曲がったくらいで
3.14が3.15になるような数ではありません。
（積分の定義が変われば、\piは複素数でないかもしれない???）

$e^{2 \pi i} = 1$とは違った味があって、ちょっと気になる
式です。

# 上の定義が誰かの疑問に答えるものではありませんが。

ニュアンスの違いだけなのだろうけれど、基本的な（絶対的な）
量だから円周と直径の比であるとか、単振動の周期であるとか、
いろんなところにあらわれる、と解釈したほうが素直なのでは
ないかな？

仮に、\piと円周と直径の比が違う物理空間に住んでいたと
しても、（円周率という名前はつけないかもしれないけれど）
\piという数が物理法則に含まれるのは間違いないのでは？