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みかみです。元ネタとは違う話しです (^_^;)。

> 島田＠阪大といいます．元ネタと違う話し(もしかすると似てる話し?)です
> が，

> In article <MIKAMI.96Feb2045329@hagi.is.s.u-tokyo.ac.jp>
> mikami@is.s.u-tokyo.ac.jp (MIKAMI Seiko) writes:

>>> あります。（数直線 R を一点コンパクト化すると円周 S^1 と同相になる
>>> ことはご存知でしょうか？）

> これはxと1/xを対応させる操作と，円周上の1点と原点対称にある点を対応
> させる操作がそっくり(同型っていうんですか?)という理解であってますか?

はい，そうです。（同型っていうのかなあ…？）
でも，x と -1/x を対応させる方が，よりそっくりです。

まず，数直線の 0 のところに，半径 1/2 の円をよいしょって
置きます。数直線上の点 x には，その点 x と円のてっぺんの点を結んだ直線の，
円とのもう一個の交点 p を対応させます。すると，円のてっぺんの点を
除いた図形と数直線の間に同相写像が作れます。
円のてっぺんがあまっているので，この点には無限遠点∞というものを
勝手につくって対応させることにします。
すると，めでたく，R ∪ {∞} から S^1 への同相写像ができます。
（っていうか，R ∪ {∞} と S^1 が同相になるように R ∪ {∞} に位相を入れ
ます。）

さて，

f : R ∪ {∞} --> R ∪ {∞} っていうのを，

  f(x) = -1/x  (x ∈ R - {0} )
  f(0) = ∞
  f(∞) = 0

で定義しますと，これは R ∪ {∞} からそれ自身への同相写像になります。
するとこれは，S^1 の世界では，まさしく対称な点を対応させているもの
にほかならなくなります。
ちゃんとかくと，先ほど作った
R ∪ {∞} から S^1 への同相写像を φ としますと，
φ o f o φ^{-1} : S^1 ---> S^1  がまさしく対称な点を対応させるものです。
よろしければ確認して下さい（すぐできます）。

なお，複素平面だったら，いわゆるリーマン球面になりますです。

 ／￣￣￣＼   みかみ せいこう  (mikami@is.s.u-tokyo.ac.jp)
｜うひょ♪｜  東大・理・情報・４年・はぎゃ研
 ＼＿＿＿／   http://tje12.is.s.u-tokyo.ac.jp:10000/~mikami/index.html