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坂本＠一橋大学情報処理センターです。

In article <HOKAO.96Jan24151308@fd013d03.fd013d03> hokao@fd013d03.fd013d03 writes:

   From: hokao@fd013d03.fd013d03
   Newsgroups: fj.sci.math
   Date: 24 Jan 1996 06:13:08 GMT

   はじめまして。外尾＠富士電機です。 

始めまして。

   符号理論における誤り訂正符号についての質問です。

   BCH符号に関してなのですが、全体の符号の長さをnビット、
   情報データをkビット、BCH符号をn-kビットとします。

私の知っている BCH 符号というのは
・有限体 GF(q^n) 上で a^m, a^{m+1}, ... , a^{m+d-2} と d-1 個の巾乗に
  対して連続した根を持つ最小多項式 g(X)∈GF(q)[X]が存在する。
・情報データは GF(q) の元 k 個の並びで、それを GF(q) の元を係数とする
  多項式 f(X) と同一視する。
・ g(X) により生成された BCH コードとは f(X)g(X) である。

ということで、「BCH 符号が n-k ビット」という記述と矛盾するので、お役
に立てない可能性は大です。

    もしnビットの符号語A、および符号語Bが上記を
     満たす符号語であれば、AとBの排他論理和(ex-or)
     をとった符号語Cも、上記を満たす符号語となる。
     ただし、n>kとする。  

GF(2)上の話に限定すると二つの BCH 符号 A(X)=a(X)g(X) と B(X)=b(X)g(X) 
に対して A(X)+B(X) の計算は各多項式の係数に関しては GF(2) 上の計算にな
るので排他的論理和と同じで、計算自体は多項式環で分配法則が使えます。
多項式の各係数に対して排他的論理和を取る演算を「☆」で表すことにすると
A(X)☆B(X)=A(X)+B(X)=a(X)g(X)+b(X)g(X)=(a(X)+b(X))g(X) と確かに g(X) 
で割りきれます。

   ことを証明したいのですが、うまくいきません。
   何かこの命題について、証明の載った文献、
   あるいは、証明がありましたらお教え下さい。

これが求めるものかどうかはしりませんが、僕の参考にした文献は
W.W.Peterson and E.J.Weldom, "Error Correcting Cords", second Ed., MIT 
Press, 1972
です。

BCH 符号に対して情報データをそのまま符号列に含むような手法等ありました
らフォローお願いします。（文献自体も古いし）

一橋大学情報処理センター	助手　　坂本　直志 (JPNIC ハンドル NS023JP)
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