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Article #14118

34th International Math. Oylmpiad (French Version)

#14118
From: MARUYAMA Naomasa
Date: Thu, 12 Aug 1993 08:20
160 lines
7018 bytes
Here is the LaTeX text of the French Version of 34th IMO problems.
Assumes A4 standard paper. Please enjoy it.

This is the text which I made after the contest. In the contest typesetted
version prepared by the organizing committee was used.

Naomasa MARUYAMA (Deputy leader of IMO34 Japan Team)

\documentstyle[12pt]{article}

%% A4 Page style by Hideki ISOZAKI (isozaki@ntt-20.ntt.junet)

\oddsidemargin -0.54cm \evensidemargin -0.54cm
\topmargin -2cm \headheight 1pc \headsep 2pc
\footheight 1pc \footskip 2pc
\textheight 60pc \textwidth 40pc \columnsep 2pc \columnseprule 0pt

\renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}}

\title{34th International Mathematical Olympiad\footnotemark \\
       Istanbul, 1993}

\footnotetext{Original copyright \copyright 1993 by IMO93 Problem Committee}
\footnotetext{This {\LaTeX} version
  is made by Mathematical Olympiad Foundation of Japan}
\footnotetext{Copyright \copyright 1993 by Mathematical Olympiad
  Foundation of Japan}

\date{}
\author{}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\maketitle\thispagestyle{empty}
%\maketitle

Version: {\bf French} \hfill 18 Juillet 1993\\

\begin{Large}
\begin{center}
{\bf PREMIER JOUR}
\end{center}
\end{Large}

\begin{itemize}
\item[1.] Soit $f(x)=x^n+5x^{n-1}+3$ o\`{u} $n>1$ est un entier. \\
      Montrer que $f(x)$ n'est pas le produit de deux polyn\^{o}mes
      dont chacun est \`{a} coefficients entiers et a un degr\'{e} au
      moins \'{e}gal \`{a} un.

\item[2.] Soit ABC un triangle dont tous les angles sont aigus et D
      un piont \`{a} l'int\'{e}rieur de ce triangle v\'{e}riant:
      \begin{description}
        \item \hspace*{3cm} ${\rm \widehat{ADB} = \widehat{ACB} + 90^\circ }$
      \end{description}
      et
      \begin{description}
        \item \hspace*{3cm} ${\rm AC \cdot BD = AD \cdot BC }$.
      \end{description}
      \begin{description}
        \item[\ \ a)] D\'{e}terminer la valeur du rapport
              ${\rm \frac{AB \cdot CD}{AC \cdot BD} }$.
        \item[\ \ b)] Montrer que les tangentes, au point C, aux cercles
              circonscrits aux triangles ACD et BCD sont orthogonales.
      \end{description}

\item[3.] Sur un \'{e}chiquier, de taille illimit\'{e}e, un
      joueur proc\`{e}de de la mani\`{e}re suivante: \\
      \hspace*{1ex} au d\'{e}but, $n^2$ jetons sont dispos\'{e}s sur
      l'\'{e}chiquier
      dans un tableau carr\'{e}, de taille $n \times n$, constitu\'{e}
      de $n^2$ cases adjacentes entre elles, un jeton sur chaque case. \\
      Dans ce jeu, un coup consiste \`{a} sauter, horizontalement ou
      verticalement, au-dessus d'une case adjacente occup\'{e}e par un
      jeton, vers une case vide situ\'{e}e imm\'{e}diatement derri\`{e}re.
      La pi\`{e}ce saut\'{e}e est alors enlev\'{e}e. \\
      Trouver pour quelles valeurs de $n$ le jeu peut se terminer avec
      un seul jeton sur l'\'{e}chiquier.

\end{itemize}

\begin{flushleft}
Temps accord\'{e}: quatre heures et demie. \\
Chaque probl\`{e}me vaut sept points.
\end{flushleft}

\newpage

Version: {\bf French} \hfill 19 Juillet 1993 \\

\begin{Large}
\begin{center}
{\bf DEUXIEME JOUR}
\end{center}
\end{Large}

\begin{itemize}

\item[4.] Pour trois points P,Q,R du plan, on d\'{e}finit $m({\rm PQR})$
      comme le minimum des longueurs des hauteurs du triangle
      PQR (dans le cas o\`{u} P,Q et R sont colin\'{e}aires on pose
      $m({\rm PQR})=0$). \\
      Soit A,B,C trois points donn\'{e}s du plan. Montrer que pour
      tout point X du plan on a:
      \begin{description}
        \item \hspace*{3cm} $m({\rm ABC}) \leq m({\rm ABX}) + m({\rm AXC}) + m({\rm XBC})$
      \end{description}

\item[5.] Soit ${\bf N}^*=\{1,2,3,\cdots\}$.  \\
      D\'{e}terminer s'il existe une application
      $f: {\bf N}^*\rightarrow {\bf N}^*$ v\'{e}rifiant: \\ \\
      \hspace*{1cm} \begin{tabular}{p{2cm}rcll}
             & $f(1)$    & $=$ & $2$,     &                         \\
             & $f(f(n))$ & $=$ & $f(n)+n$ & pour tout $n$ de ${\bf N}^*$ \\
         et  &    $f(n)$ & $<$ & $f(n+1)$ & pour tout $n$ de ${\bf N}^*$ \\
           \end{tabular}

\item[6.] Soit $n>1$ un entier. \\
      On se donne $n$ lampes $L_0,L_1,\cdots,L_{n-1}$ dispos\'{e}es
      sur un cercle. Chaque lampe est soit en position ``marche", soit
      en position ``arr\^{e}t". \\
      On effectue une suite d'op\'{e}rations $S_0,S_1,\cdots,S_i,\cdots$ \\
      L'op\'{e}ration $S_j$ n'affecte que la lampe $L_j$ (en laissant toutes
      les autres lampes dans le m\^{e}me \'{e}tat) et consiste \`{a}:
      \begin{description}
        \item si $L_{j-1}$ est en position ``marche", $S_j$ change l'\'{e}tat
           de la lampe $L_j$ en la passant de la position ``marche" \`{a} la
           position ``arr\^{e}t" ou de la position ``arr\^{e}t" \`{a}
           la position ``marche";
        \item si $L_{j-1}$ est en position ``arr\^{e}t", $S_j$ ne change
        pas l'\'{e}tat de la lampe $L_j$.
      \end{description}
      \ \ \ \ (les lampes sont prises modulo n \`{a} savoir:
      \begin{description}
        \item \hspace*{3cm} $L_{-1}=L_{n-1},L_0=L_n,L_1=L_{n+1},\cdots$).
      \end{description}
      Initialement toutes les lampes sont en position ``marche". \\
      Montrer:
      \begin{itemize}
      \item[(a)] il existe un entier strictement positif $M(n)$ tel
            qu'apr\`{e}s $M(n)$ op\'{e}rations toutes les lampes sont,
            \`{a} nouveau, en position ``marche";
      \item[(b)] si $n$ est de la forme $2^k$, toutes les lampes sont en
            position ``marche" apr\`{e}s $n^2-1$ op\'{e}rations;
      \item[(c)] si $n$ est de la forme $2^k+1$, toutes les lampes sont en
            position ``marche" apr\`{e}s $n^2-n+1$ op\'{e}rations.
      \end{itemize}
\end{itemize}

\begin{flushleft}
Temps accord\'{e}: quatre heures et demie. \\
Chaque probl\`{e}me vaut sept points.
\end{flushleft}

\end{document}

--
1993$@G/(J08$@7n(J12$@F|(J($@LZ(J)
--------
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maruyama@ism.ac.jp
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Subject: 34th International Math. Oylmpiad (French Version)
Followup-To: fj.sci.math
Date: Thu, 12 Aug 1993 08:20:23 GMT
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Organization: The Inst. of Statistical Mathematics, Tokyo Japan
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