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Article #1411834th International Math. Oylmpiad (French Version)
From: MARUYAMA Naomasa
Date: Thu, 12 Aug 1993 08:20
Date: Thu, 12 Aug 1993 08:20
160 lines
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Here is the LaTeX text of the French Version of 34th IMO problems.
Assumes A4 standard paper. Please enjoy it.
This is the text which I made after the contest. In the contest typesetted
version prepared by the organizing committee was used.
Naomasa MARUYAMA (Deputy leader of IMO34 Japan Team)
\documentstyle[12pt]{article}
%% A4 Page style by Hideki ISOZAKI (isozaki@ntt-20.ntt.junet)
\oddsidemargin -0.54cm \evensidemargin -0.54cm
\topmargin -2cm \headheight 1pc \headsep 2pc
\footheight 1pc \footskip 2pc
\textheight 60pc \textwidth 40pc \columnsep 2pc \columnseprule 0pt
\renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}}
\title{34th International Mathematical Olympiad\footnotemark \\
Istanbul, 1993}
\footnotetext{Original copyright \copyright 1993 by IMO93 Problem Committee}
\footnotetext{This {\LaTeX} version
is made by Mathematical Olympiad Foundation of Japan}
\footnotetext{Copyright \copyright 1993 by Mathematical Olympiad
Foundation of Japan}
\date{}
\author{}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\maketitle\thispagestyle{empty}
%\maketitle
Version: {\bf French} \hfill 18 Juillet 1993\\
\begin{Large}
\begin{center}
{\bf PREMIER JOUR}
\end{center}
\end{Large}
\begin{itemize}
\item[1.] Soit $f(x)=x^n+5x^{n-1}+3$ o\`{u} $n>1$ est un entier. \\
Montrer que $f(x)$ n'est pas le produit de deux polyn\^{o}mes
dont chacun est \`{a} coefficients entiers et a un degr\'{e} au
moins \'{e}gal \`{a} un.
\item[2.] Soit ABC un triangle dont tous les angles sont aigus et D
un piont \`{a} l'int\'{e}rieur de ce triangle v\'{e}riant:
\begin{description}
\item \hspace*{3cm} ${\rm \widehat{ADB} = \widehat{ACB} + 90^\circ }$
\end{description}
et
\begin{description}
\item \hspace*{3cm} ${\rm AC \cdot BD = AD \cdot BC }$.
\end{description}
\begin{description}
\item[\ \ a)] D\'{e}terminer la valeur du rapport
${\rm \frac{AB \cdot CD}{AC \cdot BD} }$.
\item[\ \ b)] Montrer que les tangentes, au point C, aux cercles
circonscrits aux triangles ACD et BCD sont orthogonales.
\end{description}
\item[3.] Sur un \'{e}chiquier, de taille illimit\'{e}e, un
joueur proc\`{e}de de la mani\`{e}re suivante: \\
\hspace*{1ex} au d\'{e}but, $n^2$ jetons sont dispos\'{e}s sur
l'\'{e}chiquier
dans un tableau carr\'{e}, de taille $n \times n$, constitu\'{e}
de $n^2$ cases adjacentes entre elles, un jeton sur chaque case. \\
Dans ce jeu, un coup consiste \`{a} sauter, horizontalement ou
verticalement, au-dessus d'une case adjacente occup\'{e}e par un
jeton, vers une case vide situ\'{e}e imm\'{e}diatement derri\`{e}re.
La pi\`{e}ce saut\'{e}e est alors enlev\'{e}e. \\
Trouver pour quelles valeurs de $n$ le jeu peut se terminer avec
un seul jeton sur l'\'{e}chiquier.
\end{itemize}
\begin{flushleft}
Temps accord\'{e}: quatre heures et demie. \\
Chaque probl\`{e}me vaut sept points.
\end{flushleft}
\newpage
Version: {\bf French} \hfill 19 Juillet 1993 \\
\begin{Large}
\begin{center}
{\bf DEUXIEME JOUR}
\end{center}
\end{Large}
\begin{itemize}
\item[4.] Pour trois points P,Q,R du plan, on d\'{e}finit $m({\rm PQR})$
comme le minimum des longueurs des hauteurs du triangle
PQR (dans le cas o\`{u} P,Q et R sont colin\'{e}aires on pose
$m({\rm PQR})=0$). \\
Soit A,B,C trois points donn\'{e}s du plan. Montrer que pour
tout point X du plan on a:
\begin{description}
\item \hspace*{3cm} $m({\rm ABC}) \leq m({\rm ABX}) + m({\rm AXC}) + m({\rm XBC})$
\end{description}
\item[5.] Soit ${\bf N}^*=\{1,2,3,\cdots\}$. \\
D\'{e}terminer s'il existe une application
$f: {\bf N}^*\rightarrow {\bf N}^*$ v\'{e}rifiant: \\ \\
\hspace*{1cm} \begin{tabular}{p{2cm}rcll}
& $f(1)$ & $=$ & $2$, & \\
& $f(f(n))$ & $=$ & $f(n)+n$ & pour tout $n$ de ${\bf N}^*$ \\
et & $f(n)$ & $<$ & $f(n+1)$ & pour tout $n$ de ${\bf N}^*$ \\
\end{tabular}
\item[6.] Soit $n>1$ un entier. \\
On se donne $n$ lampes $L_0,L_1,\cdots,L_{n-1}$ dispos\'{e}es
sur un cercle. Chaque lampe est soit en position ``marche", soit
en position ``arr\^{e}t". \\
On effectue une suite d'op\'{e}rations $S_0,S_1,\cdots,S_i,\cdots$ \\
L'op\'{e}ration $S_j$ n'affecte que la lampe $L_j$ (en laissant toutes
les autres lampes dans le m\^{e}me \'{e}tat) et consiste \`{a}:
\begin{description}
\item si $L_{j-1}$ est en position ``marche", $S_j$ change l'\'{e}tat
de la lampe $L_j$ en la passant de la position ``marche" \`{a} la
position ``arr\^{e}t" ou de la position ``arr\^{e}t" \`{a}
la position ``marche";
\item si $L_{j-1}$ est en position ``arr\^{e}t", $S_j$ ne change
pas l'\'{e}tat de la lampe $L_j$.
\end{description}
\ \ \ \ (les lampes sont prises modulo n \`{a} savoir:
\begin{description}
\item \hspace*{3cm} $L_{-1}=L_{n-1},L_0=L_n,L_1=L_{n+1},\cdots$).
\end{description}
Initialement toutes les lampes sont en position ``marche". \\
Montrer:
\begin{itemize}
\item[(a)] il existe un entier strictement positif $M(n)$ tel
qu'apr\`{e}s $M(n)$ op\'{e}rations toutes les lampes sont,
\`{a} nouveau, en position ``marche";
\item[(b)] si $n$ est de la forme $2^k$, toutes les lampes sont en
position ``marche" apr\`{e}s $n^2-1$ op\'{e}rations;
\item[(c)] si $n$ est de la forme $2^k+1$, toutes les lampes sont en
position ``marche" apr\`{e}s $n^2-n+1$ op\'{e}rations.
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{flushleft}
Temps accord\'{e}: quatre heures et demie. \\
Chaque probl\`{e}me vaut sept points.
\end{flushleft}
\end{document}
--
1993$@G/(J08$@7n(J12$@F|(J($@LZ(J)
--------
$@4];3D>>;!wE}7W?tM}8&5f=j(J
maruyama@ism.ac.jp
Technical Details
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