🚀 go-pugleaf

桂と申します。重箱をつっつくようで気が引けますが、
ちょっと引っかかったもので調べて見ました。

In article <47a4e8$mri@inetsv1.daimon-hs.daimon.toyama.jp>
chikaoka@daimon-hs.daimon.toyama.jp rites:
> 「任意の無限点列が必ず収束する部分点列を持つ」と同値でしかも
                                                  ^^^^^^
> 開集合を使った「その集合のどんな開被覆でも有限個の開集合を選んで覆うことが
> 出来る」という命題

分離の条件を別にしても、適当な（弱い）条件（たとえば、「位相空間に可算基底
が存在する」など）を追加しないと、このふたつは同値にはなりません。

＃位相空間の初歩の講義は、実数論の一環として行われることが多いので、
＃暗黙に仮定されてしまうことがおおいのですが、、、

反例としては、次のような空間があります。（N.Bourbaki: Topologie Generale
chap 1.9 演習12 および chap 9.2 演習15 )

Xを最大元をもつ非可算整列順序集合、aを最小元、bを [a, x) ={ s | a<= s < x }
が非可算となるようなxの最小元とする。
[a, b) の位相として、左半開区間全体を基底とする位相を導入すると、
[a, b)の「任意の無限点列が必ず収束する部分点列を持つ」が、「その集合のどんな
開被覆でも有限個の開集合を選んで覆うことは出来」ません。

＃証明は演習ということで、、、。