🚀 go-pugleaf

桂＠ほとんどチャチャです。

In article <47pcsg$onr@gol1.gol.com>,
 kaori@gol.com (Kaori Noda) writes:
> 数学者は次元について考えているそうですね。

一番ポピュラーな定義というのはおそらく、被覆によるものでしょうか。
大ざっぱにいうと、空間を開集合で覆ったときに、それより細かい覆い方
で、どの点でも n+1枚以下しか重ならないように覆うことができるとき、
n次元以下である、と定義します。
＃もっとラフに言えば、隣がどのくらいいるか？という量ですね。

こう定義すると、n次元ユークリッド空間がn次元であるというのは（証明
が必要な）定理となります。
＃おかげで、n次元ユークリッド空間とn+1次元ユークリッド空間とは
＃違う構造を持った空間であることが言えます。

ただ、これ以外にも、いろんな次元の定義があって、
例えば、近ごろ流行のフラクタルなどでは、1.9次元などという整数で
ない次元も現われてきます。
＃しつこいようだけれど、"違う次元の定義をすれば"の話。

代数幾何のほうでは、（これまた大ざっぱないいかたですが）
図形（これをXとしましょう）の次元を、Xに含まれる（既約な）
図形の列 X=X0⊃X1⊃X2⊃...⊃Xnの最大の長さnなどと定義します。
＃極大の長さが最大にならないことがあったりしてそれはそれで
＃面白いのだけれど。

どの定義もn次元ユークリッド空間の次元がn次元になるように、
整合性を保ったまま拡張するわけだけれど、場合によっては
最初のイメージからはずれてしまうこともあります。
たとえば、リーマン"面"なんかは、位相的には2次元だけれど、
代数幾何では、代数曲"線"といって1次元の扱いをします。
＃複素平面は複素数の上の線形空間としては１次元。

４次元といったときに、何か神秘的なものを感じるとしたら、
あまりにも有名な相対性理論が、４つ目の軸に時間軸を割り当てて
しまったせいでしょう。
＃ちょっと難しいはなしになりますが、相対性理論でつかわれている
＃空間は４次元といっても、４次元ユークリッド空間とは違う構造を
＃しています。
nがいくつのとき、相対性理論が成功したような特別な構造があるのか
は、それはそれで面白いテーマですが、"n次元"という言葉から
そちらを思い浮かべる人はほとんどいないでしょうね。

In article <DHrov7.Lzp@ioa.ogis-ri.co.jp>
felix@csl.ogis-ri.co.jp (Shigeo Yamamoto) writes:
> ２次元なり３次元の映像を頭に浮かべて、したり顔で「一般にｎ次元では」と
> ぶちあげるてました。
> この発想が特別だ、と言われると何とも言えないのですが、
> 他の数学屋（元、も含む）さんはいかがでしょう？
1次元--だいたいわかる
2次元--わかったつもり
3次元--わかることもある
4次元--n次元と一緒
かな？ 例外的によくわかる場合を除けば。
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桂 英治