🚀 go-pugleaf

どーも, 宮本です。外交上の理由により(笑), 間があきました。さて, 


In <c0n3o3$38l$1@news01.iij4u.or.jp>, 
>>まあ、このへんから先は私の古典論アナロジーが通用しないんだ、
>>と言われればそれまでなんでしょうが。
>>でも、今のところべつにディラック方程式が出てくるわけでもないし、
>>私のようなシロートには古典論的なイメージで説明して下さるほうが
>>わかりやすいかと思うんですがね。

スピンを古典的なアナロジーで考えて, かなりのところまで行けると思い
ますが, 「メビウスの輪」が意味するところの認識も重要だとわかりました。
これについては後述。

1) スピン角運動量とそれに起因する磁気モーメントが三次元空間内で方向を
持つベクトル量である。
2) スピンは第四の自由度なので三次元空間内での方向など持たない。

この一見すると二律背反が, なぜ同時に成り立って背反ではないのか, 私の
なかでは背反でも何でもなくて, それは説明済みなのですが。しかし納得して
いない人もいて, そこでどうやって説明したらいいのか, すぐには思いつき
ません。良いアイデアがある人に教えてもらいたいです ＞ All
スピンが第四の自由度として存在しなければ困るのは, そういう実験事実が
あるからで, 適当な教科書を見ていただくと, スピン発見の歴史とからめて
いろいろ書いてあることでしょう。でもそれらはたぶん石原さんの望むもの
じゃなさそうですが。

ところで, 基本的なところで「実際にそうである」という例に, ようやく
思い至りました。
量子力学では物理量(の期待値・平均値)を以下のようにして求めることは
ごぞんじのことと思います。ある物理量に対応する演算子を A として, 系の
状態が規格化された波動関数 Ψ で与えられるとき, 期待値 a は, 

\bar{a} = \int \Psi^* \hat{A} \Psi d\tau     (TeX 表記)
あるいは
a = ∫ Ψ^* A Ψ dτ     (いわゆる全角文字使用)

の様に, 形式的に表記されます。ここで積分は全空間についての積分です。
水素原子の 1s 軌道にある電子が核から受ける静電ポテンシャルの平均値
や核からの距離の平均値などを, このような手順で求めることができるわけ
です。ではここで電子の持つスピン角運動量の z 成分の大きさを求めるには
どうすればいいのか。これも上記と全く同じ手順・形式で, 電子の波動関数を 
Φ, 演算子を S_z とすると, 

m = \int \Phi^* \hat{S}_z \Phi d\sigma
(m = ∫ Φ^* S_z Φ dσ)

と書けるわけです。z が量子化軸になっていれば, m = +1/2 \hbar または 
-1/2 \hbar という値が得られることになります。さてこのとき, 積分 ∫...dσ 
とはどの空間についてなのだろうか, というのが問題です。

体積素片 dσ の次元はスピン空間なわけですが, もっと具体的に関数 Φ の
形や変数は, 寡聞にして私は見たことがありません。もし知っているあるいは
見たことがある人がいたら, 教えてください ＞ All

スピンに関しては通常はこの様な積分の表記は用いずに, ディラックのブラ
ケット表記あるいはベクトルの内積の表記が用いられ, あるいは仮に関数
として書かれても, 単に φ などと書かれるだけだと思います。もっとも
ちゃんとしたものならスピノールとしてのベクトル表記でしょうか。実用的
には, 演算子が作用した結果だけを利用して, 内積の部分は 0 か 1 になる
ようにして扱うのだと思います。(例を示そうとして手近な教科書を二つ三つ
開いたけど, ふさわしいものがない (;_;))

以上「どうであるか」に関する話です。「スピンとはそういうものだ」では
納得してもらえないだろうな。


この形式で行けば, <c0iorq$ta3$1@news.cc.hirosaki-u.ac.jp> でも述べた
通り, 私は「スピン反転」に対して「磁気共鳴」を連想していたので, そこ
ではスピンの反転は, 例えば以下のように書かれます。

S_- |ms=1/2> = sqrt(S(S+1)-ms(ms-1)) |-1/2>

ただしここで S_- は下降演算子, スピン関数はケット表示です。そして 
S=1/2, ms=1/2 なので sqrt(...)=1 です。可観測量としては例えば遷移確率
ですから, 

P = | <-1/2|S_-|1/2> |^2 = 1

などとなるわけです。この時に遷移 (スピンの反転) を引き起こす演算子 
S_- は, 空間内でのひねり (並進とか回転とか) とは違うだろう な。という
のが, 今回じっくり考えた「第四の自由度だから」の意味です。しかし当初の
発言で本人すら明示的に意識していなかったのに, 他人にそんなところまで
推測して意味を取れっていうのはムチャですね (笑)。


これで, だいたい決着がつきましたでしょうか ?

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ところで「一回りのメビウスの輪」というのが, どういう対称操作に相当
するのだろうかって, 考えています。

1) 「紙で作ったようなメビウスの輪」であれば, なんらかの回転操作等を
組合わせたものになるでしょう。しかし, 組合わせ方が一意じゃない。
輪に沿ってツウッと移動して一周するうちの, いったいどの時点で表から
裏に移るかが任意。

2) 「紙で作ったようなメビウスの輪」の発展として, 裏への移り方を鏡映で
移る場合。メビウスの輪の輪の面が鏡映面。これも周回中のどこで鏡映するか
が一意でない。

3) さらにバリエーションとして, 鏡映でなくて反転。

4) 輪そのものからは離れて, ただの空間反転。以前に述べた i の操作。この
場合には角運動量は反転しない。物体の掌性は反転し, 右手と左手は入れ替わる。

5) 以前に <86znsjh1h5.fsf@mac.com> で Shigenobu Kimura さんが言った
S(θ+2π) = - S(θ) となるような操作。これは二重群にあらわれてくる
対称操作で, 空間については任意の軸回りの 2π 回転という恒等操作なん
だけど符号が反転し, 二回繰り返して作用させてようやく元に戻る。

その他にどんなものが考えられるでしょうか。

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Ryo MIYAMOTO; rmiya@cc.hirosaki-u.ac.jp;