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Article #2458Re: 波動関数は数学的実在だと考えます
From: GON
Date: Wed, 09 Jul 2003 16:31
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"Kiyohide Nomura" <knomura@maya.phys.kyushu-u.ac.jp> wrote in message news:5ffzlf97s8.fsf@maya.phys.kyushu-u.ac.jp... > > 野村＠物理.九大です。 > > ============================== > > 量子力学の波動関数から、同じようにして確率密度、流れの密度が作れます。 > > この場合、実数のみで構成しようとすると確率密度、流れの密度が波打って見 > えることになります。このような変動は理論上も不都合ですし、実験的にも観 > 測されていません。 > > むりやり量子力学の波動関数を実数のみで構成しようとするなら、2成分の実 > 数がいると思いますが、結局そのルールは複素数を使ったものと同じになりま > せんか？ > > ============================= その２成分の実数を次のように採ると有名な方程式が２つ得られます。 波動関数ψをその絶対値の２乗、すなわち確率密度ρと位相因子Sを使って ψ(x,t) = √ρ(x,t) * Exp[iS(x,t)] と表わして、これをシュレディンガー方程式へ代入してρとSの満たすべき方程式 を求めるとFokker-Planck方程式と量子版Hamilton-Jacobi方程式が得られます。 この２つの方程式だけ見る限りには複素数のルールは意識できないですよね。 実は、量子の運動を、背景のガウシアンノイズによる外力を受けながら運動する といった描像もあって、伊藤の確率過程から出発してシュレディンガー方程式を 導くといったことも可能です。 （→Nelsonの確率過程量子化） この描像だと基本は粒子の確率過程であって、シュレディンガー方程式は 確率密度の満たすべきFokker-Planck方程式とNelsonさんが導入した確率微分 を使って表されるNewtonの運動方程式（Nelson方程式）を複素統合して得られます。 具体的には、この２つの方程式を「・・・＝０」の形に変形して、その左辺をそれぞれ （FP方程式の左辺）＋ｉ×（Nelson方程式の左辺）＝０ の形で複素統合し、得られたBurgers方程式と同型な方程式をCole-Hofp変換して 線形化すると若干の変形の後シュレディンガー方程式が得られます。 これって多少技巧的に見えるのですが、実際にシュレディンガー方程式が得られるのを 見るとちょっと驚きます。 この描像だと一見シュレディンガー方程式は副次的なものに見えてしまいます。 どっちが基本的でどっちが単なる数学的便宜なんでしょうか？
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