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     PR�SENTATION DU LIVRE


           Titre  : Pourquoi le mondes est-il math�matique ?
          Auteur  : John D. BARROW

     Traductrice  : Traduit de l'italien par B. Propetto
                   Marzi
         �diteur  : �ditions Odile Jacob (1996)


              Les scientifiques, principalement les physiciens,
     utilisent les math�matiques pour d�crire le monde et faire
     des pr�visions. Et �a marche ! On ne s'�tonne peut-�tre pas
     assez de cet accord entre une discipline issue de la pens�e
     humaine ind�pendamment de toute exp�rience et le monde
     mat�riel. Car, apr�s tout, on pourrait tr�s bien imaginer
     que les math�matiques ne soient qu'un divertissement de
     l'esprit et ne s'appliquent pas au r�el. Pour expliquer cet
     accord, il faut revenir sur la nature des math�matiques. Le
     probl�me est que plusieurs conceptions s'opposent entre
     elles. Aussi, en bon vulgarisateur, John D. BARROW se
     propose-t-il de nous en donner un aper�u clair et de nous
     pr�senter sa propre th�se.

            John D. Barrow commence par retracer la gen�se de la
     notion de nombre, et nous montre que toutes les soci�t�s
     n'en ont pas poss�d� une notion abstraite. Il en conclut que
     les math�matiques ne sont pas une activit� aussi "naturelle"
     qu'on pourrait le penser. Puis, apr�s ce rappel historique,
     il se penche sur la nature des math�matiques. Quatre th�ses
     philosophiques sont envisag�es : l'empirisme, le logicisme,
     le r�alisme et l'intuitionnisme.
            L'empirisme soutient que les math�matiques sont de
     purs produits de l'esprit, des inventions humaines, et qu'il
     n'y a aucune raison de penser que le monde est math�matique.
     Certes, le monde nous para�t structur� math�matiquement,
     mais on peut penser que tout ne nous appara�t pas. Les
     math�matiques ne seraient donc qu'un filtre construit par
     l'homme et elles ne lui permettraient d'appr�hender qu'une
     partie de la r�alit�. N�anmoins, si les math�matiques
     �taient une cr�ation de l'esprit humain, on devrait, selon
     John D. Barrow, distinguer des particularit�s culturelles
     significatives. Or, le th�or�me de Pythagore, par exemple,
     est vrai pour tout le monde. Ainsi, contre cette conception
     empiriste, John D. Barrow soutient que les math�matiques
     existent bel et bien en dehors de l'esprit humain.
            Refusant ce genre de d�bat, les formalistes
     con�oivent les math�matiques comme une manipulation de
     symboles sans signification, et ils ne cherchent pas �
     rendre compte de leur lien avec le r�el. Pour eux, le
     math�maticien doit seulement s'efforcer de d�finir les
     math�matiques le plus rigoureusement possible pour qu'elles
     ne se contredisent pas. Mais cette tentative de d�montrer la
     coh�rence de toute proposition math�matique ne peut
     aboutir : en 1931, Kurt G�del montra que, dans une th�orie
     axiomatique suffisamment riche pour contenir l'arithm�tique,
     il existait des propositions que l'on ne pouvait ni prouver
     ni r�futer, bref des propositions dont la v�rit� �tait
     ind�cidable. Ce qui voulait dire que, pour statuer sur la
     v�rit� de certaines propositions math�matiques, il fallait
     sortir du cadre formel des axiomes et des r�gles. Les
     math�matiques ne pouvaient plus �tre consid�r�es comme un
     syst�me clos ferm� sur lui-m�me.
            Si la v�rit� math�matique est au-del� des axiomes et
     des r�gles, il faut peut-�tre consid�rer que les entit�s
     math�matiques existent ind�pendamment de nos efforts pour
     les d�finir. C'est la th�se soutenue par le r�alisme -- ou
     platonisme math�matique --, pour qui, par exemple, le nombre
     "Pi" existe r�ellement dans le monde et n'est pas une
     invention de l'homme ; il a �t� d�couvert comme on a
     d�couvert l'Am�rique. Selon une telle conception, un nombre
     existe donc ind�pendamment du monde concret que nous
     connaissons, et se concr�tise dans des cas pr�cis (le nombre
     12 se concr�tise dans les 12 ap�tres, les 12
     constellations...). Que le monde mat�riel ne soit que
     l'incarnation du monde math�matique permet bien d'expliquer
     l'incroyable efficacit� des math�matiques � d�crire la
     nature. Le probl�me avec une telle conception c'est qu'elle
     ne dit pas o� se trouve cet autre monde d'abstractions
     math�matiques, ni comment entrer en contact avec lui.
            La derni�re conception pr�sent�e par John D. Barrow
     �vite ce probl�me. Selon les intuitionnistes, les
     math�matiques, en effet, doivent se construire � partir de
     notre intuition. Or, celle-ci, d'apr�s eux, ne nous
     donnerait acc�s qu'aux nombres entiers (1,2,3...). C'est
     pourquoi les intuitionnistes rejettent des entit�s telles
     que les ensembles infinis dont on ne peut avoir aucune
     exp�rience concr�te et qui n'ont rien � voir avec
     l'intuition (en effet, l'infini moins l'infini peut encore
     �tre �gal � l'infini). � partir des nombres entiers, ils
     consid�rent alors que toute proposition math�matique doit
     �tre obtenue apr�s un nombre fini d'�tapes. Mais cela cr�e
     une nouvelle cat�gorie de propositions math�matiques. Chaque
     proposition peut maintenant se voir attribuer trois
     valeurs : vraie, fausse, ni vraie ni fausse (ou
     ind�cidable). En effet, on ne peut rien dire d'une
     proposition dont la v�rit� ne peut �tre d�termin�e par un
     nombre fini d'�tapes. De plus, comme le raisonnement par
     l'absurde s'appuie sur l'id�e qu'une proposition ne peut
     �tre que vraie ou fausse, ce mode de raisonnement n'est pas
     valable pour les intuitionnistes. � cette conception des
     math�matiques, John D. Barrow conteste, entre autres, qu'il
     existe une intuition universelle des nombres naturels et se
     demande s'il n'est pas possible d'avoir une intuition de
     l'infini. Il remarque aussi que selon cette conception on
     n'explique pas comment des concepts non valid�s par la
     d�marche des intuitionnistes peuvent �tre utiles dans
     l'�tude du monde physique.
            Ces critiques am�nent alors John D. Barrow �
     pr�senter sa propre conception, construite sur le mod�le de
     l'ordinateur. Un exemple servira � l'introduire. Soit la
     suite de nombres 2, 4, 6, 8... C'est une suite infinie. Or,
     on peut la d�finir plus simplement comme l'ensemble des
     nombres pairs, c'est-�-dire qu'on peut r�duire le nombre
     d'informations n�cessaires � la d�finir (ou � la produire
     par un ordinateur). On dit dans ce cas que la suite est
     r�ductible � un algorithme. Une suite qui se caract�rise par
     le fait qu'il n'existe pas de formule plus courte qu'elle
     pour la d�finir est une suite al�atoire (sa complexit� est
     maximale). � l'image de cet exemple, John D. Barrow
     interpr�te les lois formul�es par les physiciens comme des
     r�ductions algorithmiques des observations. Les
     math�matiques �tant le langage de l'abr�viation des suites,
     elles s'appliquent "naturellement" au r�el. Ainsi, le monde
     serait math�matique au sens o� il serait algorithmiquement
     r�ductible.

            Ainsi, John D. Barrow nous invite � appr�hender les
     lois de la nature, non pas � travers les notions
     d'invariance et de sym�trie, comme c'est souvent le cas en
     physique, mais plut�t � travers celles de calcul et
     d'algorithme. Selon cette conception, l'univers n'ob�irait
     pas � un sch�ma g�om�trique qu'il s'agirait de d�crire, mais
     �voluerait comme un programme d'ordinateur qu'il nous
     faudrait d�coder. John D. Barrow est alors conduit � nous
     pr�senter tout naturellement la notion de calculabilit� (en
     r�f�rence � Turing), ainsi que celle de hasard des nombres
     (en r�f�rence � Chaitin). Ce qui fait que ce petit livre
     peut �tre abord� comme une introduction � la philosophie des
     math�matiques contemporaines.

                                                Thomas LEPELTIER,
                                              le 28 juillet 1998.

     Renseignements divers sur le livre :
            Bibliographie
            128 pages
            ISBN 2-7381-0392-8
            50 FF (1998)

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