🚀 go-pugleaf

superpollo wrote:
> 2(x+y)^2 = x^3+y^3
>
> per x,y interi positivi (por x,y enteros positivos)
>

Simplificando el factor (x + y), que no aporta soluciones con x e y 
positivos, queda

2(x + y) = x^2 - xy + y^2

x^2 - xy + y^2 -2x - 2y = 0

Se trata de una elipse, sim�trica respecto de la recta y = x, y con un 
v�rtice en el origen de coordenadas. Su centro es el punto soluci�n del 
sistema:

2x - y - 2 = 0

-x + 2y - 2 = 0

obtenido derivand su ecuaci�n respecto de x y de y. La soluci�n es (2, 2), 
por lo que el v�rtice opuesto a origen es el (4, 4) y un semieje es 2rq(2). 
El otro eje es la recta perpendicular a y = x que pasa por (2, 2), es decir 
x + y = 4. Esta recta corta a la elipse en los puntos:

B, B'  = (2 -/+ 2rq(3)/3, 2 +/- 2rq(3)/3

Por lo que el otro semieje es (2rq(3)/3)rq(2) = 2rq(6)/3 < 2rq(2). Los 
puntos enteros en este elipse, ya son f�ciles de localizar:

(0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 4), (4, 2) y (4, 4)

Si solo interesan las soluciones positivas, tenemos dos esencialmente 
distintas: {2, 4} y {4, 4}.

�Y si nos interesdasen todas las soluciones racionales con x + y =/= 0?


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Saludos,

Ignacio Larrosa Ca�estro
A Coru�a (Espa�a)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS@mundo-r.com
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/