🚀 go-pugleaf

Antoon Pardon (apardon@rc4.vub.ac.be) wrote:
> Nu bestaat er een algoritme om van een fraktaal (van een bepaalde
> soort) die kontraksies te vinden die hem tot resultaat zal geven.

> Ik heb echter niets gevonden hoe je van een fraktaal zijn produksies
> zou kunnen vinden. Weet iemand daar meer over?

Hoi Antoon,

	Ik heb hierover mijn licentiaatsthesis gemaakt gehad, en ik kan je
dus hier wel op antwoorden.

	Normaal gezien is het zo dat het zoeken naar een fraktale code van
een gegeven beeld puzzelwerk is. Het is niet noodzakelijk zo dat er een
methode moet bestaan om *precies* de code te vinden, omdat een vooraf
gegeven beeld niet noodzakelijk fraktaal *moet* zijn. Denk bijvoorbeeld
aan het varenblad; stel dat in de tiende vertakking of zo een fout zit die
zich verder propageert. Met het blote oog zal het waarschijnlijk niet
opvallen dat er een fout zit. Het enige wat men kan doen is een fraktaal
maken waarvan de Hausdorff-afstand tot het gegeven beeld *hoogstens* een
gegeven vooropgestelde maximala afwijking heeft. Een afschatting van de
afstand tussen het beeld en de attractor wordt gegeven in functie van de
afstand tussen het beeld en de eerste iteratie van het beeld door het
geitereerd functiesysteem. Deze stelling staat bekend onder de naam
"collage-theorema" - M.F. Barnsley "Fractals Everywhere", 2e uitgave p.94. 

	Dus om op uw vraag te antwoorden: precies kan men dat NOOIT, want
men weet niet of een gegeven fraktaal-uitziend iets werkelijk fraktaal is.
In het beste geval kan men bewijzen dat afstand(fraktaal, beeld) kleiner
wordt dan een zekere waarde epsilon. Uiteraard kan die afstand nul zijn -
en dan zijn de beelden gelijk (niet precies, hun topologisch-metrische
sluiting is gelijk, maar voor een ruimte van pixels is dat hetzelfde) -,
maar het spreekt vanzelf dat voor een nauwkeurigere epsilon het aantal
functies in je geitereerd functiesysteem ook zal stijgen, en nogal snel.

	Hieruit vloeit ook het misverstand dat als je fraktale
compressiesoftware gebruikt, en er een fraktaal beeld mee wilt
comprimeren, dit dan automatisch goed "moet" gaan. In het algemeen is niet
het tegendeel waar: hoe complexer het beeld, hoe ingewikkelder de fractale
code.
 
	Dit is dan enkel maar de situatie voor gewone
verzamelingtheoretische fraktalen. Men kan ongeveer hetzelfde doen met
maten (stochastische fraktalen), hetgeen Barnsley ook beschrijft in
hoofdstuk 9 van hetzelfde boek, met recurrente geitereerde functiesystemen
(hoofdstuk 10 - hierbij worden de achtereenvolgende stappen afhankelijk
gemaakt van een Markov-keten), en ook voor fuzzy fraktalen - in verband
hiermee heeft C.A. Cabrelli enkele interessante artikels geschreven. Als
je meer specifieke informatie nodig hebt, mail me dan gerust.

--
Werner Peeters - RUCA Dept. of Mathematics Off # U538 |M  _/\/\/\_   S
Groenenborgerlaan 171, B-2020 Antwerp, Belgium        |A  \,>o(,,/_  I
Phone: +32 3 218 04 06 - Fax: +32 3 218 02 04         |G  \(o)(o) /_ M
E-mail: wpeeters@nets.ruca.ua.ac.be                   |G   /c    @_/ P
Homepage: http://nets.ruca.ua.ac.be/~wpeeters         |I    C_, )/   S
   <)>><                                              |E     /  |/   O
                                                      |  "Suck suck" N