🚀 go-pugleaf

-----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-----

In nl.wetenschap, philipd@cs.KULeuven.ac.be (Philip Dutre) wrote:

> P.S. Kent iemand een manier om getallen neer te schrijven in basis -1 ?
> (Geen raadseltje, een echte vraag ...)

Was basis 1 te eenvoudig of zo? Die wil ik eerst doen...

Ter inleiding:
 In het decimale geval:
 Een getal x kan geschreven worden als:
 ... + a2*10^2 + a1*10^1 + a0*10^0 + b1*10^-1 + b2*10^-2 + ...
 oftewel ... + a2*100 + a1*10 + a0 + b1*.1 + b2*.01 + ...
 met de a's en b's element van {i|0<=i<10 en i geheeltallig}.

Oh, u wilt ook het binaire geval zien? Oke.
 Een getal x kan geschreven worden als:
 ... + a2*2^2 + a1*2^1 + a0*2^0 + b1*2^-1 + b2*2^-2 + ...
 oftewel ... + a2*4 + a1*2 + a0 + b1*.5 + b2*.25 + ...
 met de a's en b's element van {i|0<=i<2 en i geheeltallig}.

In het unaire geval zou x als volgt geschreven worden:
... + a2*1^2 + a1*1^1 + a0*1^0 + b1*1^-1 + b2*1^-2 + ...
oftewel ... + a2 + a1 + a0 + b1 + b2 + ...
met de a's en b's element van {i|0<=i<1 en i geheeltallig}.
(want 1^n=1 voor elke geheeltallige n)

We zien echter direct, dat de a's en b's gelijk aan 0 moeten zijn!
(want {i|0<=i<1 en i geheeltallig} = {i|i=0})
Want dat wil unair zeggen: je hebt maar e'e'n cijfer om te gebruiken.
Daaruit volgt, dat het enige getal wat je unair kunt representeren,
nul zelf is!

Maar ik denk, dat in de praktijk stiekum toch een 0 en een 1 gebruikt
mogen worden. In dat geval maakt het niet uit welke a's of b's 1
worden, als het aantal enen maar klopt met de grootte van x
(er kunnen echter alleen geheeltallige delen mee gemaakt worden).
Denk hierbij aan de oudheid, waarbij het aantal keitjes aangaf, 
hoeveel schapen je had. Of het turf-systeem...

Enfin, dit gezegd hebbende, gaan we nu over naar het negunaire
talstelsel (negunair = negatief-unair, basis -1).
x zou dan geschreven moeten kunnen worden als:
... + a2*-1^2 + a1*-1^1 + a0*-1^0 + b1*-1^-1 + b2*-1^-2 + ...
oftewel ... + a2 - a1 + a0 - b1 + b2 - ...
met de a's en b's element van {i|0<=i<-1 en i geheeltallig}.

De a's en b's moeten volgens (mijn) theorie uit een lege verzameling
gekozen worden, en dus, helaas, is het negunaire talstelsel niet
bruikbaar! Einde discussie. Antwoord op Philip's vraag: NEE.

Maar zou hier stiekum dan ook iets anders gebruikt mogen worden?
Het enige beetje redelijke wat ik nu kan bedenken, is weer {0,1},
wel of geen kiezeltje. Maar dan dien je wel twee kleuren kiezels
te gebruiken, namelijk (bijv.) groen, als je moet optellen, en
rood als je moet aftrekken. Want anders zie je niet het verschil
tussen bv. 8 en 2(=5-3).
Maar ja, dit kan natuurlijk ook simpel in het unaire systeem,
door 2 variabelen bij te houden. Maar dit is misschien al te 
moeilijk voor mensen uit de oudheid ;)


Even een noot voor de pure wiskundigen onder ons:
De verzameling {i|0<=i<basis} heb ikzelf bedacht.
 Zit deze zo ook in de 'formele' definities?

Overigens, het rekenen met getallen in het (neg)unaire stelsel
heb ik maar gemakshalve buiten beschouwing gelaten.


Goed, dit leek me wel een leuke post om m'n debuut op
nl.wetenschap te maken.

Kind regards cq. De groeten,

GoofY
- -- PubKey at http://www.stack.nl/~goofy/PGP
And as a finishing touch...
                       God created the Dutch!


-----BEGIN PGP SIGNATURE-----
Version: 2.6.3i
Charset: cp850
Comment: PGP signatures are NOT binaries!

iQCVAwUBMxzEzQY01jPEDCRNAQHt3QQApEFJeTA0Yd5zk4KzME0jhALtd7L5PH+0
WZCTkd99BRmTVAJ6w7HZF4xBwt8JjAkVMt+Zk+a3rfuDdKgajbm7w4kHaGqQkoZu
P8hwD85jnXmAoZYL86rXfkhJoRg4FrtiCSGy6tO1CxPuRexo8Kyz0NmfeUwCHKMm
Fs1MjmOmX3o=
=R08k
-----END PGP SIGNATURE-----