🚀 go-pugleaf

Bart Uyttenhove (Bart.Uyttenhove@ping.be) wrote:
: Hallo,

: Ik zit al een paar dagen met een vraag waarvan ik het antwoord niet zo
: direct kan oplossen:

: In de (gewichtloze) ruimte, is er een roterend(om zwaartekracht op te
: wekken)  cylindervormig ruimtestation . Diameter ongeveer 30m. (denk
: aan solid rocket boosters van space shuttle). Iemand staat op de wand,
: en gooit een bal naar 'boven' (dus naar het rotatiecentrum) hard
: genoeg om voorbij dat centrum te raken. Welke baan beschrijft de bal,
: gezien vanuit het standpunt van de gooier?

Er zit een dubbelzinnigheidje in de vraag.  Wat  wordt  er  juist
bedoelt met "iemand gooit naar het rotasiesentrum"?

Dit kan op twee manieren geinterpreteerd worden.

1) De bal wordt zo gelanseerd dat hij voor een niet  meeroterende
   waarnemer een rechte lijn door het sentrum beschrijft.

2) De bal wordt zo gelanseerd zodat hij een rechte lijn door  het
   sentrum zou beschrijven indien de silinder niet zou roteren.

: Ik vermoed dat de bal in een spiraal rond- en naar het rotatiecentrum
: toe zal  bewegen, en met een andere spiraal terug naar de buitenkant
: van de cylinder zal keren, of ben ik verkeerd?

In het eerste geval wel ja. De afstand van de bal tot het midden-
punt is evenredig met de tijd. De hoek tussen deze baan en de af-
stand die de waarnemer heeft afgelegd is  ook  evenredig  met  de
tijd.  De afstand tot het middelpunt is dus evenredig met de hoek
en dat is inderdaad een spiraal [van archimedes als mijn geheugen
mij niet in de steek laat].

Voor de liefhebbers van formules. Nemen we de oorsprong  van  het
assenstelstel  in  het  middenpunt van de silinder. a is de hoek-
nelheid.  v is de snelheid waarmee het projektiel naar  het  cen-
trum  reist.  De straal van de silinder is 1. X en Y loodrecht op
elkaar.

De waarnemer beschrijft dan de volgende  omdat  hij  zich  op  de
roterende eenheidssirkel bevindt de volgende baan.

[ X ]   [ cos at ]
[   ] = [        ]
[ Y ]   [ sin at ]

En voor onze waarnemer roteren de punten in ons assenstelsel zich
in  omgekeerde richting. De omzetting naar roterende assenstelsel
is dus.

  [ X ]   [ cos -at  -sin -at ]  [ Xo ]
  [   ] = [                   ]  [    ]
  [ Y ]   [ sin -at   cos -at ]  [ Yo ]

of

  [ X ]   [  cos at  sin at ]  [ Xo ]
  [   ] = [                 ]  [    ]
  [ Y ]   [ -sin at  cos at ]  [ Yo ]

Nemen we nu aan dat de bal geworpen wordt op t=0.

Dan is de baan beschreven vanuit het  onafhankelijk  assenstelsel
voor de bal gegeven door.

  [ Xb ]   [ -vt + 1 ]
  [    ] = [         ]
  [ Yb ]   [     0   ]


De baan beschrewen ten opzichte van de meeroterende waarnemener is dan

  [ Xw ]   [  cos at  sin at ]  [ -vt + 1 ]   [ (-vt + 1) cos at ]
  [    ] = [                 ]  [         ] = [                  ]
  [ Yw ]   [ -sin at  cos at ]  [     0   ]   [ (-vt + 1) sin at ]

Nu kunnen we nog twee transformasie toevoegen.

1) Een transformasie van tijdpunt. Zodat de bal zich  op  t=0  in
   het  sentrum  bevindt. Dan krijgen we een baanbeschrijving van
   de volgende vorm.

    [ Xw ]   [ vt cos (at + c0) ]
    [    ] = [                  ]
    [ Yw ]   [ vt sin (at + c0) ]

2) Een transformasie van hoek. Zodat de beschreven  hoek  op  t=0
   ook  nul  is.  Dat  geeft  dat  uiteindelijk de volgende baan-
   beschrijving voor de bal gezien wanuit de meeroterende waarne-
   mer.

    [ Xw ]   [ vt cos at ]
    [    ] = [           ]
    [ Yw ]   [ vt sin at ]

Wat voor de kenners niet moeilijk te herkennen is als een parame-
ter beschrijving van een spiraal

Geval twee laat ik over aan anderen die graag ook hun  tanden  in
iets dergelijks willen zetten. Mijn gok is dat de baan een epicy-
cloide is of iets dergelijks.

--
All opinions expressed herein are currently under revision
==========================================================
Antoon Pardon    Brussels Free University Computing Centre
==========================================================