🚀 go-pugleaf

On Sun, 11 Jan 1998 11:45:17 GMT, gap@goerres.de (gap) wrote:

>Ich finde die Diskussion recht interessant, ich habe aber ein kleines
>Problem:
>Was sind Nonstandard-Zahlen?
>F�r eine Definition w�re ich dankbar.
>
Ich antworte mit einem abge�nderten Beitrag einer anderen Newsgruppe
(abge�ndert, weil ich inzwischen dazugelernt habe - vielen Dank,
Detlef! Aber ganz hast Du mich noch nicht �berzeugt, s.u.):

Gemeint sind Zahlen aus der Non-Standard-Analysis. Hyperreell sind
sie, weil sie zwischen bzw. neben den reellen Zahlen liegen, und zwar
mit infinitesimalem Abstand. D.h, es gibt darunter auch Zahlen, die
gr��er bzw. kleiner als jede reelle Zahl sind. In der Schule kann man
sie (angeblich, das ist ja meine Frage) wie eine
Zahlbereichserweiterung einf�hren (N - Z - Q - R - und schlie�lich
"H"). Der Begriff "hyperreelle Zahlen" pa�t hier besser als
"Non-Standard-Analysis", weil die Sch�ler den Standard-Weg zur
Analysis gar nicht kennenlernen w�rden. Einige Argumente standen in
meiner anderen Mitteilung.

Zur Idee der Konstruktion (soweit ich es verstanden habe):
1. Stelle jede reelle Zahl als entsprechende konstante Folge dar.

2. Die Grundrechenarten werden gliedweise durchgef�hrt. Alles bleibt
soweit beim alten.

3. Interessant wird es, wenn man beliebige Folgen reeller Zahlen
betrachtet. Man erh�lt die Menge der hyperreellen Zahlen, die als
Teilmenge die reellen Zahlen (n�mlich die konstanten Folgen) enth�lt.

4. Beispiel: man identifiziert den periodischen Dezimalbruch 0,9 nicht
mit 1, sondern schreibt ihn als (0,9; 0,99; 0,999; ...) auf. Wenn man
die Differenz zu 1, d.h (1; 1; 1; ...) bildet, erh�lt man eine Zahl,
deren Betrag jede von null verschiedene reelle Zahl unterschreitet.

5. Man f�hrt die Leibnizsche Sprech- und Schreibweise ein, mit
"Differentialen", d.h. infinitesimalen Differenzen. Damit kann man
z.B.  "dy/dx" anstatt "dy nach dx" wirklich als dy geteilt durch dx,
d.h. als Differentialquotient bezeichnen.

Beispiel 1: Die Definition der Stetigkeit enth�lt standardm��ig drei
Quantoren: F�r alle eps gibt es ein delta, so da� f�r alle x .....
Cauchy meinte dagegen 1821: "... eine Funktion f(x) bleibt stetig -
unter Ber�cksichtigung von x in den gegebenen Grenzen, wenn -
innerhalb dieser Grenzen eine unendlich kleine Ab�nderung der
Variablen eine unendlich kleine Ab�nderung der Funktion selbst
bewirkt."
Dem entspricht die Definition mit hyperreellen Zahlen fast v�llig:
f stetig in a :<=> F�r alle infinitesimalen Nachbarn x von a ist f(x)
infinitesimal benachbart zu f(a).

Beispiel 2: Die Einf�hrung der Produktregel beim Differenzieren:
Im herk�mmlichen Unterricht m�ssen die Sch�ler erst die richtige
Produktregel raten (die naheliegende Vermutung 
" (f*g)'(x) = f'(x) * g'(x) " erweist sich als falsch) was gar nicht
so einfach ist. Anschlie�end wird mit einem Grenz�bergang die
Behauptung bewiesen.
Bei Verwendung hyperreeller Zahlen ist die Ableitung definiert als 
f'(x0) = RT(dy/dx), RT hei�t Realteil.
(Bei der Einf�hrung von H wird bewiesen, da� sich jede finite
hyperreelle Zahl eindeutig in eine Summe aus einer reellen Zahl und
einer infinitesimalen Zahl zerlegen l��t. Den Realteil bilden hei�t
den Infinitesimalteil weglassen)
Es gilt y = a*b mit a = f(x0) und b = g(x0). 

dy/dx	= (f(x+dx) * g(x+dx) - f(x)g(x)) / dx
	= ((a+da)(b+db) - ab) / dx
	= (ab+adb + bda + dadb - ab) / dx
	= a*(db/dx) + b*(da/dx) + dadb/dx
Bei Bildung des RT f�llt der letzte Summand weg man erh�lt fg' + gf'.
Die Formel wurde direkt ausgerechnet und mu�te nicht vorher geraten
werden. 

6. Es ergibt sich ein Rechenwerkzeug, das 
	a) das mathematisch fundiert ist 
	b) dessen Grundideen auf die "V�ter der Infinitesimalrechnung"
zur�ckgehen
	c) das Physiker und Ingenieure schon lange benutzen, wenn kein
Mathematiker zuguckt
	d) das m�glicherweise f�r Sch�ler einfacher zu durchschauen
ist als die Epsilontik.

	e) nat�rlich auch Probleme beinhaltet: 
# Bei Einf�hrung von H auf der Ebene der Mengenlehre f�gt man zu ZFC
noch ein oder zwei weitere Axiome hinzu und hat alles erledigt (was
f�r die Schule bestimmt nicht durchf�hrbar ist). Wenn man konstruktiv
vorgeht und H als K�rper will, mu� man eine geeignete Festlegung
treffen, wann zwei h-reelle Zahlen gleich sind, wann eine gr��er ist
usw (z.B.: gleiche Folgenglieder bis auf endlich viele). Das Problem
mit den Nullteilern l�st man, wenn man beispielsweise die unendlich
viele ungerade Indices schon als "gen�gend oft" f�r eine Gleichheit
mit null ansieht. 
# Das �bertragungsprinzip gilt nur f�r Aussagen der Pr�dikatenlogik
erster Stufe.
# Alle Funktionen m�sen auf H erweitert werden.

7. Also ist es wie immer: Es gibt Vor- und Nachteile. Noch habe ich
aber den Eindruck, da� es sich um Vorteile f�r den Sch�ler handelt
(beim Verwenden der h-Zahlen). Die Nachteile scheinen mir mehr f�r den
Lehrer zu gelten, der als Mathematiker gerne eine vollst�ndige Theorie
vermitteln m�chte. Soweit ich aber den Unterricht aus Lehrersicht
bisher kennengelernt habe, ist das sowieso nie der Fall. Es kommt im
Mathematikunterricht darauf an, logisches und mathematisches Denken,
Arbeiten und Probleml�sen usw zu vermitteln. Aber das kann mE selbst
innerhalb einer Disziplin (z.B. Analysis) in der Regel nur
exemplarisch geschehen. D.h. es wird immer Beweise geben, die man
weglassen mu�, weil die Zeit nicht reicht oder weil sie zu schwer
sind. Ich finde, dazu sollte man stehen und es den Sch�lern auch sagen
(und nicht irgendwas in 2 min durchziehen, damit keiner aufschreit,
wie es jmd sagte) 

Wie gesagt, ich k�nnte mir vorstellen, einige der o.g. Probleme
auszusparen, oder besser ungel�st stehenzulassen und daf�r die
Vorteile des Systems auszuspielen. Au�er es meldet sich mal jemand,
der mir sagt: Ich habs probiert und es klappt nicht!

Viele Gr��e






Michael