🚀 go-pugleaf

On Wed, 14 Jan 1998, Michael Brach wrote:

-> Zur Idee der Konstruktion (soweit ich es verstanden habe):
-> 1. Stelle jede reelle Zahl als entsprechende konstante Folge dar.

 Wobei Du bedenken solltest, da� reelle Zahlen �quivalenzklassen von Folgen
rationaler Zahlen sind, die �quivalenzrelation ist gerade "x ~ y :<=> (x-y)
ist eine Nullfolge". Oder wie f�hrst Du f�r diese Schreibweise die reellen
Zahlen ein? (Dumm gefragt: Wie werden in der Schule noch mal reelle Zahlen
eingef�hrt?)

-> 3. Interessant wird es, wenn man beliebige Folgen reeller Zahlen
-> betrachtet. Man erh�lt die Menge der hyperreellen Zahlen, die als
-> Teilmenge die reellen Zahlen (n�mlich die konstanten Folgen) enth�lt.

 Jede Folge reeller Zahlen konvergiert gegen eine relle Zahl. (Oder in
Mathematiker-Sprech: |R ist ein Banach-Raum.)

-> 4. Beispiel: man identifiziert den periodischen Dezimalbruch 0,9 nicht
-> mit 1, sondern schreibt ihn als (0,9; 0,99; 0,999; ...) auf. Wenn man
-> die Differenz zu 1, d.h (1; 1; 1; ...) bildet, erh�lt man eine Zahl,
-> deren Betrag jede von null verschiedene reelle Zahl unterschreitet.
   _
 0,9 wird nicht mit 1 identifiziert, sondern es l��t sich elemtar
                   _
nachrechnen, da� 0,9 = 1 gilt. Ansonsten rechnest Du nicht mit einer
Erweiterung von |R, sondern mit einem v�llig anderen Raum. Ich habe noch
nicht ganz verstanden, was Du mit den Folgen denn nun machst oder welche
Folgen Du zulassen m�chtest. Dein H wird ja vermutlich nicht gleich ein
unendlichdimensionaler Vektorraum �ber |R wie z.B. der Raum c_0 der
Nullfolgen sein.

-> 5. Man f�hrt die Leibnizsche Sprech- und Schreibweise ein, mit
-> "Differentialen", d.h. infinitesimalen Differenzen. Damit kann man
-> z.B.  "dy/dx" anstatt "dy nach dx" wirklich als dy geteilt durch dx,
-> d.h. als Differentialquotient bezeichnen.

 Die Schreibweise mit einzelnen dx, dy, dz ist mir in der Standard-Analysis
auch begegnet, allerdings sind das Elemente des Dualraums einer
Mannigfaltigkeit und nichts, was irgendwo "dazwischen" liegt.

-> Bei Verwendung hyperreeller Zahlen ist die Ableitung definiert als 
-> f'(x0) = RT(dy/dx), RT hei�t Realteil.

 Was ja offensichtlich nur f�r f:|R->|R gelten kann. Ja, ich wei�, das auch
in den meisten Mathe-LKs keine komplexen Zahlen eingef�hrt werden, aber mit
so einer Definition macht man es den zuk�nftigen Ingenieuren, Physikern und
Mathematikern, die allesamt mit komplexen Zahlen rechnen m�ssen, unn�tig
schwer.

-> Es gilt y = a*b mit a = f(x0) und b = g(x0). 
-> 
-> dy/dx	= (f(x+dx) * g(x+dx) - f(x)g(x)) / dx
-> 	= ((a+da)(b+db) - ab) / dx
-> 	= (ab+adb + bda + dadb - ab) / dx
-> 	= a*(db/dx) + b*(da/dx) + dadb/dx
-> Bei Bildung des RT f�llt der letzte Summand weg man erh�lt fg' + gf'.
-> Die Formel wurde direkt ausgerechnet und mu�te nicht vorher geraten
-> werden. 

 Nach dem, was ich bislang gelesen habe, sieht f�r mich diese Formel eher
wie eine unsaubere Einf�hrung einer Taylorreihe aus. Andererseits ist das
Wegfallen des letzten Terms in der globalen Analysis wiederum leicht zu
begr�nden. Aber da ist das da und db ja etwas anderes als Du oben definiert
hast.

-- 
Christopher Creutzig # Im Samtfelde 19 # D-33098 Paderborn # V+49-5251-71873
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        "(Das sind keine gesicherten Zahlen, sondern Realit�ten.)"
                                                    (Horst Willenberg)