🚀 go-pugleaf

Sugihara Yoshimi wrote:
> 
> 始めましてｓｕｇｉｈａｒａといいます。
> 
>   ｌｏｎｇ型であらわされた座標（ｘ、ｙ）で、２点間の距離を浮動小数点を使わず
> に求める方法はないでしょうか？
> 
>  このごろ ＦＰＵがついているのが当然なマシンばかりですが、現在開発しているマ
> シン(マイコン）にはついていないのです。そして 浮動小数点を使うとやたら遅いの
> で、何とかしなければならないのですが・・・
> 
>  ちなみに以下のようなコードです。
> 
>     x = px - qx
>     y = py - qy
> 
>     r = (long) sqrt( (double) ( (x*x) + (y*y) ) )    ・・・・ｓｑｒｔを使う
> と重たくなる。（；；
> 
> て感じにしてます。
> 
> ご存知の方、ヒントだけでも良いので教えてください。
> 
> よろしくお願いします。

アルゴリズム本などに、ブレゼンハムという人が考えたＤＤＡという
アルゴリズムがあると思いますので、探してみてください。書籍では
Ｃによるアルゴリズム辞典だかという本にのっていたはずです。

ＤＤＡ(Digital Differential Analiser)ってのはつまるところ、傾きによ
って２点間に線を引いていくのですが、ＸとＹの少数部を整数演算に
よって求めて、０．５で四捨五入していました。これで２点間にドットを
置いていき（描画はしなくてよい）、ドットの数がラインの長さという事
になります。実は手元の書籍のどれかにあったと思うのですが、探す
のが面倒なので書籍を当たってください。それくらいの努力はしても
いいですよね。

$B5WLn$G$9!#(B

ueken@pluto.dti.ne.jp$B$5$s(B:
> $B%"%k%4%j%:%`K\$J$I$K!"%V%l%<%s%O%`$H$$$&?M$,9M$($?(BDDA$B$H$$$&%"(B
> $B%k%4%j%:%`$,$"$k$H;W$$$^$9$N$G!"C5$7$F$_$F$/$@$5$$!#=q@R$G$O(BC
> $B$K$h$k%"%k%4%j%:%`<-E5$@$+$H$$$&K\$K$N$C$F$$$?$O$:$G$9!#(B

  $B$7$+$7$3$N>l9g!"$=$l$h$j$b(B(dx = x1 - x2, dy = y1 - y2$B$H$7$F(B)

    r*r <= dx*dx + dy*dy < (r+1)*(r+1)

$B$J$k(Br$B$r(B2$BJ,C5:w$G5a$a$kJ}$,B.$/$J$$$G$7$g$&$+!#$@$$$?$$5wN%$KHfNc(B
$B$7$F$h$$$s$J$i(B(dx$B$,(Bdy$B$h$j>.$5$$$H$7$F(B)r$B$r(Bdy$B$+$i(Bdx+dy$B$^$G(B1$B$D$:$D(B
$BJQ2=$5$;$F$7$i$_$D$V$7$KC5$9$N$,$$$A$P$s4JC1$@$C$?$j$7$F!#(B

		$B$^$"$I$l$G$b$$$$$s$G$9$1$I(B		    $B5WLn(B

P.S. DDA$B$r$=$&$$$&$U$&$K;H$C$?>l9g8m:9$NN_@Q$C$F$J$$$s$G$7$g$&$+(B?

  $BHsIi@0?t$NJ?J}:,$r%K%e!<%H%sK!$G@0?tIt$@$15a$a$k$H$$$&J}K!$G$bNI$$$+(B
$B$b$7$l$^$;$s!#$3$l$J$i@0?t$N2C8:>h=|$HHf3S$@$1$G:Q$_$^$9$7!#$"$j$&$kLd(B
$BBj$O!"Fs>h$r7W;;$9$k$3$H$K$h$k%*!<%P!<%U%m!<$G$9$,!"2hLL>e$N(B2$BE@$N5wN%(B
$B$r5a$a$kMQES$J$i$3$NLdBj$O9M$($J$/$H$bNI$5$=$&$G$9$M!#(B

						nide@ics.nara-wu.ac.jp

Ken-ichiro Ueda wrote:
> 
> アルゴリズム本などに、ブレゼンハムという人が考えたＤＤＡという
> アルゴリズムがあると思いますので、探してみてください。書籍では
> Ｃによるアルゴリズム辞典だかという本にのっていたはずです。
> 
> ＤＤＡ(Digital Differential Analiser)ってのはつまるところ、傾きによ
> って２点間に線を引いていくのですが、ＸとＹの少数部を整数演算に
> よって求めて、０．５で四捨五入していました。これで２点間にドットを
> 置いていき（描画はしなくてよい）、ドットの数がラインの長さという事
> になります。実は手元の書籍のどれかにあったと思うのですが、探す
> のが面倒なので書籍を当たってください。それくらいの努力はしても
> いいですよね。

ＤＤＡを利用する方法は、ちと疑問に思います。
直線を引くために最適化されたＤＤＡでは、ＸもしくはＹの長いほうの
距離に対して、それが１つ変化した時に短い方の変数が１変化するかどう
かを調べることになりかねません。つまり、ドットの数は、長いほうの
距離となってしまう恐れがあります。

平方根のニュートン法などを利用して、計算したほうが良いと思います。

----- Takeshi  Shigihara
      Office   cygnus@masternet.or.jp
      Home     cygnus@po.jah.ne.jp -----

In article <6hdaib$chb$1@news1.kcom.ne.jp>
sugihara@mb.kcom.ne.jp writes:

>>   $B#l#o#n#g7?$G$"$i$o$5$l$?:BI8!J#x!"#y!K$G!"#2E@4V$N5wN%$rIbF0>.?tE@$r;H$o$:(B
>> $B$K5a$a$kJ}K!$O$J$$$G$7$g$&$+!)(B

 $B%K%e!<%H%s$[$*$%$C$H=q$3$&$H$7$?$s$G$9$,!"$"$l$OHyJ,$GJ?J}:,$,$$$j$^(B
$B$7$?$M!#$=$l$J$i!"AGD>$K3+J?J}$7$F$O$$$+$,$G$7$g$&!#(B10 $B?J?t$N3+J?J}$H(B
$B0c$C$F!"(B2 $B?J$N3+J?J}$O$H$C$F$b4JC1$G$9!#$A$g$C$HAH$s$G$_$^$7$?$N$G!"(B
$B%G%P%C%0$H:GE,2=$O$=$A$i$G$d$C$F2<$5$$!#(B

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define BIT_PER_BYTE 8 /* 1 byte $B$"$?$j$N%S%C%H?t(B */
#define OP_SHIFT 2     /* 2 $B%S%C%H$:$D2r7h$9$k$+$i(B */
#define BITMASK 3      /* 2 $B%S%C%H$N%^%9%/(B */

int sqrint( int operation ){
    int answer = 0;  /* $BEz$((B */
    int left = 0;    /* $B:8$N%T%i%_%C%I$N>e$N?t(B */
    int right = 0;   /* $B1&$N%T%i%_%C%I$N0z$-;;$7$??t(B */
    int i;

    for( i = sizeof(operation)*BIT_PER_BYTE; i > 0; i -= OP_SHIFT ){
        answer <<= 1;
        right <<= OP_SHIFT;
        right += ((operation >> (i-OP_SHIFT)) & BITMASK); /* $B$*$m$9(B */
        left <<= 1;
        if( left+1 <= right ){ /* 1 $B$,N)$F$i$l$k$+$I$&$+(B */
            answer += 1;
            right -= left+1;   /* 10 $B?J$J$i3]$1;;$r$9$k$H$3$m(B */
            left += 2;         /* $B:8$N%T%i%_%C%I$r99?7$9$k(B */
        }
    }
    return answer;
}

int main( int argc, char *argv[] ){
    printf( "sqrt(%d) ~= %d\n" , atoi( argv[1] ), sqrint( atoi( argv[1] )));
    return 0;
}

 $B$A$J$_$K!"Ii$N?t$G$b$H$K$+$/Ez$($r=P$9!"$H$$$&$N$H!"Ez$($N>.?tE@0J2<$r@Z$j(B
$B<N$F$k$H$$$&$N$O%P%0$G$O$J$/;EMM$G$9!#(B

ｓｕｇｉｈａｒａです。

Seiji Suzuki wrote in message
<6hekgm$ojc$1@tequila.rel.crl.fujixerox.co.jp>...

>>>   ｌｏｎｇ型であらわされた座標（ｘ、ｙ）で、２点間の距離を浮動小数点を使
わず
>>> に求める方法はないでしょうか？
>
> ニュートンほおぅっと書こうとしたんですが、あれは微分で平方根がいりま
>したね。それなら、素直に開平方してはいかがでしょう。10 進数の開平方と
>違って、2 進の開平方はとっても簡単です。ちょっと組んでみましたので、
>デバッグと最適化はそちらでやって下さい。
>
>#include <stdio.h>
>
>    中略
>
>int main( int argc, char *argv[] ){
>    printf( "sqrt(%d) ~= %d\n" , atoi( argv[1] ),
sqrint( atoi( argv[1] )));
>    return 0;
>}
>
> ちなみに、負の数でもとにかく答えを出す、というのと、答えの小数点以下を切り
>捨てるというのはバグではなく仕様です。


さっそくやってみました。

コードはそのままを遣わせていただきました。

おお！！はやい！！

これなら十分です。

本当にありがとうございました。

sugiharaです。

Seiji Suzuki wrote in message
<6hekgm$ojc$1@tequila.rel.crl.fujixerox.co.jp>...
>In article <6hdaib$chb$1@news1.kcom.ne.jp>
>sugihara@mb.kcom.ne.jp writes:
>
>>>   ｌｏｎｇ型であらわされた座標（ｘ、ｙ）で、２点間の距離を浮動小数点を使
わず
>>> に求める方法はないでしょうか？
>
> ニュートンほおぅっと書こうとしたんですが、あれは微分で平方根がいりま
>したね。それなら、素直に開平方してはいかがでしょう。10 進数の開平方と
>違って、2 進の開平方はとっても簡単です。ちょっと組んでみましたので、
>デバッグと最適化はそちらでやって下さい。
>
>#include <stdio.h>
>#include <stdlib.h>
>
>#define BIT_PER_BYTE 8 /* 1 byte あたりのビット数 */
>#define OP_SHIFT 2     /* 2 ビットずつ解決するから */

>
>    中略
>
>int main( int argc, char *argv[] ){
>    printf( "sqrt(%d) ~= %d\n" , atoi( argv[1] ),
sqrint( atoi( argv[1] )));
>    return 0;
>}
>
> ちなみに、負の数でもとにかく答えを出す、というのと、答えの小数点以下を切り
>捨てるというのはバグではなく仕様です。

やってみました。

おお！！速い！！

コードはそのまま使わせていただきました。

ありがとうございました。

Sugihara Yoshimi wrote:
>   ｌｏｎｇ型であらわされた座標（ｘ、ｙ）で、２点間の距離を浮動小数点を使わず
> に求める方法はないでしょうか？

ヒントにはなるかな？

>    x = px - qx
>    y = py - qy
>    r = (long) sqrt( (double) ( (x*x) + (y*y) ) )

r*r >= x*x + y*y を満足する負でない最小のrを二分法で探す。

x*xなどを計算するときにはオーバーフローに注意して下さい。
しかしdoubleを使う方が早いかもしれない．．．
-- 
Hiroyoshi Tanimoto @ Toshiba Corp. Advanced Microelectronics Center
  E-Mail: tanimoto@amc.toshiba.co.jp

In article <6hekgm$ojc$1@tequila.rel.crl.fujixerox.co.jp>
    $B<+J,(B     writes:

>>  $B%K%e!<%H%s$[$*$%$C$H=q$3$&$H$7$?$s$G$9$,!"$"$l$OHyJ,$GJ?J}:,$,$$$j$^(B
>> $B$7$?$M!#$=$l$J$i!"AGD>$K3+J?J}$7$F$O$$$+$,$G$7$g$&!#(B10 $B?J?t$N3+J?J}$H(B

 $B<+8J%U%)%m!<$G$9!#(B2 $B>h$r;H$($P$h$$$N$G$7$?!#B.$$>h;;L?Na$N$"$k%A%C%W$J$i(B
$B%K%e!<%H%sK!$NJ}$,3+J?J}$h$jB.$$$h$&$J5$$,$7$^$9!#$G$b$b$C$HB.$$$N$O(B
$BJ?J}:,$r5a$a$J$$;v$G$9$M!#2?$K;H$&$N$+J,$+$i$J$$$N$G2?$H$b8@$($^$;$s$,!"(B
$B5wN%$N(B 2 $B>h$N$^$^8e$KB3$/7W;;$r?J$a$i$l$^$;$s$+(B?

ｓｕｇｉｈａｒａです。

Seiji Suzuki wrote in message
<6hekgm$ojc$1@tequila.rel.crl.fujixerox.co.jp>...
>>>   ｌｏｎｇ型であらわされた座標（ｘ、ｙ）で、２点間の距離を浮動小数点を使
わず
>>> に求める方法はないでしょうか？
>
> ニュートンほおぅっと書こうとしたんですが、あれは微分で平方根がいりま
>したね。それなら、素直に開平方してはいかがでしょう。10 進数の開平方と
>違って、2 進の開平方はとっても簡単です。ちょっと組んでみましたので、
>デバッグと最適化はそちらでやって下さい。
>
>#include <stdio.h>
>
>    中略
>
>int main( int argc, char *argv[] ){
>    printf( "sqrt(%d) ~= %d\n" , atoi( argv[1] ),
sqrint( atoi( argv[1] )));
>    return 0;
>}
>
> ちなみに、負の数でもとにかく答えを出す、というのと、答えの小数点以下を切り
>捨てるというのはバグではなく仕様です。

さっそくやってみました。

コードはそのままを遣わせていただきました。

おお！！はやい！！

これなら十分です。

本当にありがとうございました。

$B5WLn$G$9!#(B

sugihara@mb.kcom.ne.jp$B$5$s(B:
> $B2sE>9TNs$NMWAG$O8GDj>.?tE@(B(1.0=4096$B$H$7$F$$$k(B)$B$H$$$&J}K!$G$&$^(B
> $B$/@Z$jH4$1$k$3$H$,$G$-$?$N$G$9$,!"2sE>9TNs$K@_Dj$9$kMWAG$N(Bsin
> $B$H(Bcos$B$O(B y/r $B$H(B x/r $B$G5a$a$k$7$+;W$$Ev$?$i$J$+$C$?$N$G!"$I$&$7(B
> $B$F$b(B r (2$BE@4V$N5wN%(B)$B$,I,MW$J$N$G$9!#(B

  (y*y)/(r*r) $B$H$+(B (x*x)/(r*r) $B$H(B sin$B!"(Bcos $B$NBP1~I=$rM=$a7W;;$7(B
$B$F$*$$$FI=$r0z$/$@$1$K$7$?$i$$$$$s$8$c$J$$$G$9$+(B?

		4096$B9`L\$:$D$G$$$$$o$1$G$9$7(B		    $B5WLn(B

Takeshi Shigihara wrote:
> 
> Ken-ichiro Ueda wrote:
> >
> > アルゴリズム本などに、ブレゼンハムという人が考えたＤＤＡという
> > アルゴリズムがあると思いますので、探してみてください。書籍では
> > Ｃによるアルゴリズム辞典だかという本にのっていたはずです。
> >
> > ＤＤＡ(Digital Differential Analiser)ってのはつまるところ、傾きによ
> > って２点間に線を引いていくのですが、ＸとＹの少数部を整数演算に
> > よって求めて、０．５で四捨五入していました。これで２点間にドットを
> > 置いていき（描画はしなくてよ｢）、ドットの数がラインの長さという事
> > になります。実は手元の書籍のどれかにあったと思うのですが、探す
> > のが面倒なので書籍を当たってください。それくらいの努力はしても
> > いいですよね。
> 
> ＤＤＡを利用する方法は、ちと疑問に思います。
> 直線を引くために最適化されたＤＤＡでは、ＸもしくはＹの長いほうの
> 距離に対して、それが１つ変化した時に短い方の変数が１変化するかどう
> かを調べることになりかねません。つまり、ドットの数は、長いほうの
> 距離となってしまう恐れがあります。
> 
> 平方根のニュートン法などを利用して、計算したほうが良いと思います。
> 
> ----- Takeshi  Shigihara
>       Office   cygnus@masternet.or.jp
>       Home     cygnus@po.jah.ne.jp -----

　　おっしゃることはわかるのですが、長いほうの距離＝ドットの数だと
　　直線にすきまができてしまうような気が。直線を引くという命題から
　　すると、ちょっと最適化しすぎのような気がします。もっとも、こちら
　　としては最初から高精度を前提に考えていませんでしたし、もっと
　　精度のよいロジックが提案されていますので素直に撤回します。

In article <6hijrs$195$1@news1.kcom.ne.jp>
sugihara@mb.kcom.ne.jp writes:

>> $B$H$3$m$G!"%K%e!<%H%sK!$G#2>h$N$r;H$&$N$G$7$g$&$+!)%K%e!<%H%sK!$G$O3d$j;;$,7k(B
>> $B9==P$F$/$k$_$?$$$G$9$,!"#2>h$r;H$&$H$3$m$OFbMF$K;W$&$N$G$9$,!&!&!&(B

 $B$O$$!#$^$A$,$$$G$9!#A4A3JL$NJ*$H4*0c$$$7$^$7$?!#(B

 $B$H$3$m$G!"JL$NJ}$+$i$b$C$HB.$$1i;;%k!<%A%s$r65$($F$b$i$C$?$s$G$9$,!"(B
$B8x3+$7$F$$$$$N$+$J(B? $B;d$N$O(B SS10 50MHz $B$G(B 30$B&L(Bs $BDxEY$@$C$?$N$G$9$,!"(B
$B65$($F$b$i$C$?$N$O(B 17$B&L(Bs $BDxEY$^$G=P$^$9!#(Balpha axp 500MHz $B$G<B9T(B
$B$9$k$H2?$H(B 460ns $B$GEz$($,JV$C$FMh$^$7$?!#(B

 $B$A$J$_$K!"$7$P$i$/A0$N!V%H%i%s%8%9%?5;=Q!W$G(B sqrt( x*x + y*y ) $B$r(B
$B9bB.$K5a$a$k%3%s%F%9%H$,$"$j$^$7$?!#<j85$KL5$$$N$G$9$,!"3N$+(B 2 $BG/(B
$B$0$i$$A0$G$9!#(B($B$b$C$H$b%O!<%I%&%'%"$G5a$a$k$N$,%a%$%s$G$9$,!#(B)

<6hk7ie$3if@news.kyosai.or.jp>の記事において
sugihara@kyosai.or.jpさんは書きました。

>> sugiharaです。
>> 
>> kuno@gssm.otsuka.tsukuba.ac.jp wrote in message
>> <6hjbaa$sf8@utogw.gssm.otsuka.tsukuba.ac.jp>...
>> >
>> >  (y*y)/(r*r) とか (x*x)/(r*r) と sin、cos の対応表を予め計算し
>> >ておいて表を引くだけにしたらいいんじゃないですか?
>> >
>> > 4096項目ずつでいいわけですし
>> 
>> この方法はメモリを消費するので、あまりやりたくないです。最終的にメモリに空き
>> が残っていたときに試してみます。
(以下略)

  結局、回転変換に関する行列計算を行いたいわけなんですよね？

  で、久野さんがおっしゃる、あらかじめ表を作っておくというの
が良いように思います。メモリの節約をするなら「表＋計算」とい
う形で実現するのはどうでしょう。

  0-2*PI[rad] を 0-4096 で表現するとして、sin,cos の表は4096
要素で作った方が早いのでしょうが、減らすことはできます。高校
レベルの数学で、
  １、cos(th)=sin(th+PI/4)
  ２、cos(th)=-cos(th+PI/2)
      sin(th)=-sin(th+PI/2)
  ３、sin(th1+th2) = sin(th1)*cos(th2)+cos(th1)*sin(th2)
      cos(th1+th2) = sin(th1)*sin(th2)+cos(th1)*cos(th2)
などが分かると思います。

  １と２を使うと、表自体は sin(0) から sin(PI/2)までを用意し
て、あとはいろいろ操作してやればいいわけです。
  また、３を使うと、例えば0-4096表現で、奇数ぶんを用意してお
いて、(偶数)=(奇数)+1 だから、乗算２回、加算１回で対応できま
すね。
  他にも、３の応用として sin(th*2)を th を使って表現する公式
なんかもありますし、表はもっと小さいサイズにすることができる
でしょう。

--
寺元郁博(TERAMOTO,Ikuhiro)
mailto:yellow@ecopolis.sk.tsukuba.ac.jp
http://ecopolis.sk.tsukuba.ac.jp/~yellow/index_j.html

$BA0ED(B@$B%j%3!<$G$9!#(B

> $B#l#o#n#g7?$G$"$i$o$5$l$?:BI8!J#x!"#y!K$G!"#2E@4V$N5wN%$rIbF0>.?tE@$r;H$o$:(B
> $B$K5a$a$kJ}K!$O$J$$$G$7$g$&$+!)(B

Metafont$B$N%=!<%9$r$"$?$C$F$_$^$7$g$&!#(Bx*x$B$d(By*y$B$,%*!<%P!<%U%m!<$9(B
$B$k>l9g$G$b@5$7$/5a$a$i$l$k%"%k%4%j%:%`$,$N$C$F$$$^$9!#(B

$B$&$m$*$\$($J$N$G4V0c$C$F$$$k$+$b$7$l$^$;$s$,!"3N$+0J2<$N$h$&$J%"(B
$B%k%4%j%:%`$@$C$?$H;W$$$^$9!#(B
	$B86E@(BO(0, 0)$B$HE@(BA(x, y)$B$KBP$7$F!"E@(BB(x, y/2)$B$r<h$j!"(B
	OB$B$K4X$7$F(BA$B$HBP>]$JE@(BA'$B$r<h$k$H!"(BOA==OA'$B$H$J$j$^$9!#(B
	$B$"$H$O!"(BOA''''$B$,(Bx$B<4$K==J,6a$/$J$k$^$G$/$jJV$7$^$9!#(B
$BE@(BA$B$,Bh(B1$B>]8B$K$"$k$H$7$F!"E@(BB$B$O(BOA$B$H(Bx$B<4$NFsEyJ,@~$h$j>eB&$K$"$k$H(B
$B$&$N$,%_%=$+$J!#(B

-------------------------------  MadCat        LRM15   $B""(B/$B!1(B\$B""(B   LRM15
 $BA0ED(B $B70(B maeda@src.ricoh.co.jp   75t 175km/h     LG+  o"$B!C(B  $B!C(B"o  AFC100
 ($B3t(B)$B%j%3!<(B $B%=%U%H%&%'%"8&5f=j(B   HeatSink 14     Sm+   .=X$B!1(BX=.   Sm+
-------------------------------  Armor 2025           _|_    _|_

$BCf;3$H$b$&$7$^$9!#(B

>$B$H$3$m$G!"%K%e!<%H%sK!$G#2>h$N$r;H$&$N$G$7$g$&$+!)%K%e!<%H%sK!$G$O3d$j;;$,7k(B
>$B9==P$F$/$k$_$?$$$G$9$,!"#2>h$r;H$&$H$3$m$OFbMF$K;W$&$N$G$9$,!&!&!&(B

$B%K%e!<%H%sK!$G$"$l$P!"$?$H$($P!"<!$N$h$&$J7W;;$K$J$j$^$9$M!#(B

int
root(int x)
{
	int		r, d;

	for (r = x; 0 < r && 0 < (d = (r - x / r) / 2); r -= d) {
	}
	return r;
}

Masayuki Nakayama Tel.053-523-1140 Ext.882-378 Fax.053-523-0257
Project Support Dept. Hosoe Factory   Roland Corporation 

$BA0ED(B> $B$&$m$*$\$($J$N$G4V0c$C$F$$$k$+$b$7$l$^$;$s$,!"3N$+0J2<$N$h$&$J%"(B
$BA0ED(B> $B%k%4%j%:%`$@$C$?$H;W$$$^$9!#(B

$B$9$_$^$;$s!"B?J,(Blong$B$@$1$G$O7W;;$G$-$:!"8GDj>.?tE@$+$J$s$+$G(B
$B$d$i$J$$$H$$$1$J$$%"%k%4%j%:%`$@$H;W$$$^$9!#(B

-------------------------------  Vulture       LRM20   .$B""(B||$B""(B.   LRM20
 $BA0ED(B $B70(B maeda@src.ricoh.co.jp   75t 175km/h     Md+  o'$B""(B||$B""(B`o  Md+
 ($B3t(B)$B%j%3!<(B $B%=%U%H%&%'%"8&5f=j(B   HeatSink 18  LG Sm+   .=X~~X=.   Sm+ LG
-------------------------------  Armor 2195           _|_    _|_  

$BA0ED(B@$B%j%3!<$G$9!#(B

$BA0ED(B> $B86E@(BO(0, 0)$B$HE@(BA(x, y)$B$KBP$7$F!"E@(BB(x, y/2)$B$r<h$j!"(B
$BA0ED(B> OB$B$K4X$7$F(BA$B$HBP>]$JE@(BA'$B$r<h$k$H!"(BOA==OA'$B$H$J$j$^$9!#(B
$BA0ED(B> $B$"$H$O!"(BOA''''$B$,(Bx$B<4$K==J,6a$/$J$k$^$G$/$jJV$7$^$9!#(B

  0 <= y <= x $B$H$J$k$h$&$K(Bx,y$B$r%"%l%s%8(B
  repeat
	r = (y / x)
	r *= r
	r /= (4 + r)	# (*)
	x += 2 x r
	y *= r
  until y $B$,==J,>.$5$$(B

$B8GDj>.?tE@$G$d$k$N$,$$$$$G$7$g$&$M!#(B

(*)$B$N7W;;$,=*$C$?;~E@$G!"(B
	r = y^2 / (4 x^2 + y^2) = (sin$B"\(BXOB)^2
($B$3$3$G(BX$B$O@5$N(Bx$B<4>e$NE@(B)$B$H$J$C$F$$$k$3$H$K5$$E$1$P!"(BA'$B$,(BOB$B$K4X$7(B
$B$F(BA$B$HBP>N$G$"$k$3$H$,$o$+$j$^$9!#(B

$B<}B+$bB.$$$N$G!"(B2$B!A(B3$B2s$N$/$jJV$7$G==J,$J@:EY$,=P$k$G$7$g$&!#(B

-------------------------------  Thor                  q+-=$B!{(B+p.  LRM15
 $BA0ED(B $B70(B maeda@src.ricoh.co.jp   75t 143km/h     Md+  d ||##|| @) LG
 ($B3t(B)$B%j%3!<(B $B%=%U%H%&%'%"8&5f=j(B   HeatSink 28    EPPC    / $B"&(B \    EPPC
-------------------------------  Armor 2110      Sm+   $B!B(B    $B!B(B   Sm+

Sugihara Yoshimi <sugihara@mb.kcom.ne.jp> wrote:
>$B#1!K#P!$#Q$N#2E@$N:BI8$rF@$k!#(B
>$B#2!K#PE@$r86E@$H$7$F#QE@$NJ}8~$,#Y<4$N@5J}8~$K$J$k$h$&$J2sE>9TNs$r5a$a$k!#(B
>$B#3!K5a$a$?2sE>9TNs$G:BI8$rJQ49$7$J$,$i?^7A$rIA<L$9$k!#(B
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>$B2sE>9TNs$NMWAG$O8GDj>.?tE@!J#1!%#0!a#4#0#9#6$H$7$F$$$k!K$H$$$&J}K!$G$&$^$/@Z(B
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( dx, dy ) $B$H$9$k$J$i!"<!$N$h$&$KAGD>$K8e$G3d$j;;$7$?J}$,$h(B
$B$$$N$G$O(B?

         1       dy, dx    x - px     px
     --------- (        ) (      ) + (  )
     |(dx,dy)|  -dx, dy    y - py     py

2$B2s3d$j;;$,A}$($k$1$I!"@0?t$N1i;;$@$1$G$G$-$k$7!"7eMn$A$r$"(B
$B$^$j9M$($J$/$F$9$`$7!#Cm0U$9$k$N$O@0?t$N(B Overflow $B$@$1$K$G(B
$B$-$^$9$M!#(B

-- 
$B9b66M5?.(B($B$?$+$O$7$R$m$N$V(B): $B?7>pJs=hM}3+H/5!9=(B $B$D$/$P8&5f%;%s%?!<(B
E-mail: hironobu@trc.rwcp.or.jp or hironobu@tiny.or.jp