🚀 go-pugleaf

h-satoh@rd.njk.co.jp (Hiroyuki Satoh) writes:

>         整数 A, B があり、B > 0 の場合、これに対して
>            A = ( B * q ) + r
>            0 <= r < B
>         であるような整数 q, r がただ一組存在する。
>         q を A を B で割った「商」、r を「余り」という。

上の定義はBが正の時しか使えませんよね。Bが負の場合も考慮した場合、
A/Bを整数値に丸める方法として以下の4通りが一般的です。

(1) 0に向かって丸める(truncate)。
    すなわち、『商』とは、A/Bより絶対値が大きくない整数の中でもっとも
    A/Bに近いものと定義する。
(2) 正の無限大に向かって丸める(ceiling)。
    商とはA/Bより小さくない整数の中でもっともA/Bに近いものと定義する。
(3) 負の無限大に向かって丸める(floor)。
    商とはA/Bより大きくない整数の中でもっともA/Bに近いものと定義する。
(4) もっとも近い整数に丸める(round)。
    商とはすべての整数の中でもっともA/Bに近いものと定義する。
    (ちょうど2つの整数の中間にある時は、偶数を選ぶ)。

この4つに応じてそれぞれ『余り』が定義できます。

> どちらにしてもこれらは、数学上の考え方とは異なるようです。

数学的には上の4つのどれが「正しい」ともいえないと思います。佐藤さんが
示した除法定理も、「除数は正」という範囲でしか成り立ちませんよね。この
範囲以外だと上を満たすq, rは存在しませんから。

ceilingやfloorは数学で良く使いますよね。統計学ではroundを使わないと困
る事も多いでしょう。また、「整数部と小数部」なんていう言い方をした時は、
truncateが整数部を求める演算に相当するでしょう。

> コンピュータ言語で、「これが仕様」と決められ、広く認知されて
> いる以上、それを否定するつもりは全くありません。
> 
> 私が知りたいのは「算術」演算子／関数によって導かれる結果を、
> 「なぜ数学上の概念と違う仕様に決めたのか？」という事です。
>   ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

プログラミング言語では、演算子としてこれらのうち1つしか用意していない
言語が多いですね。「除数または被除数のいずれかが負の時、剰余の符号は不
定(あるいは処理系依存)」としている言語もあります。

実際にtruncateを採用している処理系が多いのは、おそらくそれがコンピュー
タで処理する上でもっとも楽だからでしょう。floorやceilingは商の正負によっ
てアルゴリズムを変えなければいけませんし、roundもtruncateより手間がか
かります。

ちなみに、Common Lispではtruncate, floor, ceiling, roundという4つの丸
め方が用意されています。剰余にはfloorの剰余を返すmodと、truncateの剰余
を返すremの2とおりがあります。SchemeというLispの方言にもmoduloと
remainderという2つの剰余関数があります。Fortranの組み込み関数やCのライ
ブラリ関数では、浮動小数点数を整数値に丸めるときにtruncateする関数
(aint)とroundする関数(anint)の2つが用意されています。

> ＃ 手元にあるバージョンのjparl では、
> ＃      -5 / +2 は -2,  -5 % +2 は +1 
> ＃      +5 / -2 は -2,  +5 % -2 は +5 になっちゃいます。
> ＃ これは話になりませんね。制限仕様？バグ？

Perlにはちゃんとした仕様がない(仕様 = 実装)ので推測するしかありません
が、除数・被除数のどちらかが負だと剰余はまったく不定なのかも。つまり、
除法定理が成り立つ範囲でしか使ってはいけないとか???

				前田敦司

In article <pypiupisr63.fsf@tp560e.sowa.is.uec.ac.jp>, maeda@is.uec.ac.jp says...

> 数学的には上の4つのどれが「正しい」ともいえないと思います。佐藤さんが
> 示した除法定理も、「除数は正」という範囲でしか成り立ちませんよね。この
> 範囲以外だと上を満たすq, rは存在しませんから。

> ceilingやfloorは数学で良く使いますよね。統計学ではroundを使わないと困
> る事も多いでしょう。また、「整数部と小数部」なんていう言い方をした時は、
> truncateが整数部を求める演算に相当するでしょう。

なるほど、やはり剰余については方式的な定義が複数存在するという事な
訳ですね。
言語処理系の仕様は、それらの中で最も演算がシンプルになるtruncateを
採用した。
という事ですね。


> Perlにはちゃんとした仕様がない(仕様 = 実装)ので推測するしかありません
> が、除数・被除数のどちらかが負だと剰余はまったく不定なのかも。つまり、
> 除法定理が成り立つ範囲でしか使ってはいけないとか???

そのようですね。
こういうのがあるから言語間移植って一筋縄にいかないんです。

御教授ありがとうございました。

-- 
                     佐藤 弘幸 (Hiroyuki Satoh)
                     E-mail address for private : h-satoh@tkb.att.ne.jp

$BA0ED(B@$B%j%3!<$G$9!#(B

> h-satoh@rd.njk.co.jp (Hiroyuki Satoh) writes:
>> $B!t(B $B<j85$K$"$k%P!<%8%g%s$N(Bjparl $B$G$O!"(B
>> $B!t(B      -5 / +2 $B$O(B -2,  -5 % +2 $B$O(B +1 
>> $B!t(B      +5 / -2 $B$O(B -2,  +5 % -2 $B$O(B +5 $B$K$J$C$A$c$$$^$9!#(B
>> $B!t(B $B$3$l$OOC$K$J$j$^$;$s$M!#@)8B;EMM!)%P%0!)(B

>>>>> In article <pypiupisr63.fsf@tp560e.sowa.is.uec.ac.jp>,
>>>>> 	MAEDA Atusi <maeda@is.uec.ac.jp> writes:

> Perl$B$K$O$A$c$s$H$7$?;EMM$,$J$$(B($B;EMM(B = $B<BAu(B)$B$N$G?dB,$9$k$7$+$"$j$^$;$s(B
> $B$,!"=|?t!&Ho=|?t$N$I$A$i$+$,Ii$@$H>jM>$O$^$C$?$/ITDj$J$N$+$b!#$D$^$j!"(B
> $B=|K!DjM}$,@.$jN)$DHO0O$G$7$+;H$C$F$O$$$1$J$$$H$+(B???

Perl5.004$B$G5,Dj(B?$B$5$l$?(B(regulate$B$5$l$?(B)$B$h$&$G$9!#(B

man perlop$B$h$j(B:
|     Binary "%" computes the modulus of two numbers.  Given
|     integer operands $a and $b: If $b is positive, then $a % $b
|     is $a minus the largest multiple of $b that is not greater
|     than $a.  If $b is negative, then $a % $b is $a minus the
|     smallest multiple of $b that is not less than $a (i.e. the
|     result will be less than or equal to zero).

arith.t$B$h$j(B:
|try 1,  13 %  4 ==  1;
|try 2, -13 %  4 ==  3;
|try 3,  13 % -4 == -3;
|try 4, -13 % -4 == -1;

-------------------------------  MadCat        LRM15   $B""(B/$B!1(B\$B""(B   LRM15
 $BA0ED(B $B70(B maeda@src.ricoh.co.jp   75t 175km/h     LG+  o"$B!C(B  $B!C(B"o  AFC100
 ($B3t(B)$B%j%3!<(B $B%=%U%H%&%'%"8&5f=j(B   HeatSink 14     Sm+   .=X$B!1(BX=.   Sm+
-------------------------------  Armor 2025           _|_    _|_

maeda@src.ricoh.co.jp (Kaoru MAEDA) writes:

> Perl5.004で規定?された(regulateされた)ようです。
> 
> man perlopより:
> |     Binary "%" computes the modulus of two numbers.  Given
> |     integer operands $a and $b: If $b is positive, then $a % $b
> |     is $a minus the largest multiple of $b that is not greater
> |     than $a.  If $b is negative, then $a % $b is $a minus the
> |     smallest multiple of $b that is not less than $a (i.e. the
> |     result will be less than or equal to zero).

なるほど。floorの余りを採用したんですね。佐藤さんが最初におっしゃった
mathematically correctな剰余ですね。

たしかに、Perl 5.004ではそういう値を返しますね。Perl 5.003だと、除数
($b)が負の時はむちゃくちゃ^^;。マニュアル見ても

｜       Binary "%" computes the modulus of the two numbers.

と書いてあるだけだし。

				前田敦司