🚀 go-pugleaf

遅くなったけれど、誰も反応していないようなので、粗筋だけ、、、

In article <4j86sd$set@inn.cc.kagoshima-u.ac.jp>,
gsmnakajo@sci.kagoshima-u.ac.jp  writes:

>    f
> X ---> Y
> 
> X; conneted irreducible scheme
> Y; Spec A    
> A; local artin ring  
> f を smooth relative dimension 1
> 
> m; A の maximal ideal
> 
> O を scheme X の構造層で Ox を scheme X の点 x における
> local ring で mx を Ox の maximal ideal
>  
> 閉点 y を有理点 (ie. Oy/my と A/m 同型)
> 
> このとき、Oy の元 t が存在して以下の条件を満たすことを示せ
> 
> 1) Oy/t と A は同型
> 2) t は my - my^2 の元である
> 3) t は Oy の non zero divisor
> 4) Oy/t^n は、1,......,t^(n-1) を基底とする自由 A 加群
> 5) Oy の total quotient ring K は、Oy 加群として
>    1, t^(-1), t^(-2), ......  で生成される

A = Ox, m=mx, B=Oy , n=my , と書くことにします。
局所環の準同型 f : A -> B が smooth , rel. dim 1ですから、
f mod m : A/m -> B/mB もsmooth , rel. dim 1です。
k=A/m は体ですから、B/mの完備化は k[[T]]と同型です。
さて、C=A[[T]], J=mC とおくと、JはCのべき零イデアルで
C/J = k[[T]]です。

　　　C  ---> C/J = k[[T]] = (B/mB)^
              ^
              |
      k  ---> B/mB
      ^       ^
      |       |
      A  ---> B 
      
いま、t~ ∈ B/mB を t~ mod n^2 が T mod n^2に対応する元とします。

上の図式を考えると、smooth性より、写像　B -> C/J は　
写像　B -> C に持ち上がります。
t ∈ B を t mod mB = t~ となる元とすると、これが求めるものに
なると思います。

では。
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桂 英治 KGH07045@niftyserve.or.jp