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こんにちは、計算ミスはお手のもの の 東芝Emi! です。

 > From: Ken-ichi Ohshima <ohshimak@super.win.or.jp>
 > Date: 1 Feb 1996 03:09:45 GMT

 > 有理数というのは、
 > 
 > 	（０以外の整数） ／ （０以外の整数）
 > 
 > という分数であらわすことができる数だと思っています。

いいえ、0/x も有理数です。
WLOG で、分母を正数にして頂いて構いません。

 > 一方、無理数のほうは、そうあらわすことができない数
 > と思っています。

実数のうち、有理数でないものを、無理数と言います。

 >   まず、第一の疑問は、この（整数）が無限に大きい
 > ことも許されるとすると、

これが許されません。無限大は数ではないのですから。

 > ても、有理数全体の集合Qは、

 > とあらわされるので、結局、可算集合になります。ここには、

確かに、有理数集合濃度は、自然数集合濃度と同じ、つまり可算です。
列挙の仕方も簡単で、行に分母の値、列に分子の値を持たせた行列の各点を、
1/1 からはじまって、斜めに蛇行して数えて行けばよいだけです。
1/1,1/2,2/1,3/1,(2/2,)1/3,1/4,2/3,3/2,4/1,...

 >   第２の疑問は、この「いくらでも大きくてよいが有限」
 > と「無限」の違いに関連しています。

値 a が有限値ならば、例えば、(a+1)-a = 1 ができます。
無限大は、数ではないので、これを保証する必要がありません。

 > なんというか、「いくらでも大きくてよいが有限」という集合の
 > 外に「無限」という点があって「別扱い」しなければならない
 > と感じます。

恐らく、その考えであっていると思います。
「自分以上である値を自分以外に挙げる事ができる」のが有限値、
そうでないのが無限大、として頂いて、構わないと思います。

--- Emi! // Emi@isl.rdc.toshiba.co.jp