🚀 go-pugleaf

みかみともうします。

いやあ，こういう質問って，なんだか，周期的に来るみたいですねえ。

さて。

> 有理数というのは、

> 	（０以外の整数） ／ （０以外の整数）

> という分数であらわすことができる数だと思っています。一方、無理数のほ
> うは、そうあらわすことができない数と思っています。

分子は０でもいいんですが，まあ，それ以外はオッケーです。

>   まず、第一の疑問は、この（整数）が無限に大きいことも許されるとする
> と、
>      14142135........ / 1000000........
> という分数を考えることによって、ルート２が有理数ということになってし
> まいます。これはおかしいので、有理数は

「無限に大きい整数」というものは，ありません。
（なぜないかと言うと，定義されていないからです。）

> （０以外の、いくらでも大きくてよいが有限の整数）／ （０以外の、いく
> らでも大きくてよいが有限の整数）
> という分数として定義されることになるのでしょうか。

ということで，この「いくらでも大きくてよいが有限の」は，冗長です。

>   でも、仮にこの（整数）が無限に大きいことを許したとしても、有理数全
> 体の集合Qは、

> Q1 = { n/1; n=0, +-1, +-2, ..... } Q2 = { n/2; n=0, +-1, +-2, ......}
> .  .  .  なる集合によって、 Q = Q1 U Q2 U Q3 U Q4.......  とあらわさ
> れるので、結局、可算集合になります。ここには、「いくらでも大きくてよ
> いが有限」などの条件はついていません。しかし、上記より、分子分母に無
> 限に大きい整数があってよいことにすると、Qの中に、無理数が入ることに
> なってしまい、なにか変です。 どこかで勘違いをしているのだと思うので
> すが、よく分かりません。教えてください。

無限に大きい整数なんていうものはないので，条件は不要です。
有理数全体の集合が可算集合であることは，ここではあまり関係ないような…。

>   第２の疑問は、この「いくらでも大きくてよいが有限」と「無限」の違い
> に関連しています。なにか「”無限”に向かって無限に近づくことができる
> のだけれども、決して”無限”にはならない」というような感じなのですが、
> 開集合の内から境界に近づいていくような感じで、「無限」のとこだけ穴が
> あいているような感じです。なんというか、「いくらでも大きくてよいが有
> 限」という集合の外に「無限」という点があって「別扱い」しなければなら
> ないと感じます。

「無限」という点は，ある場合もあるし，ない場合もあります。
（要はそれをどこかで定義したか否かです。）
「別扱い」も，しなくちゃいけない場合もあるし，しなくてもいい場合も
あります。（数直線 R を一点コンパクト化すると円周 S^1 と同相になる
ことはご存知でしょうか？）

> 仮に、第１の疑問のところで書いた有理数の定義（分子分母は、「いくらで
> も大きくていがよいが有限な」整数）というのがあっているとすると、有理
> 数の集合に関する議論で「無限」という概念を使用することはできないので
> はないか、などと考えてしまうのです。もし、「無限に」大きい数を許して
> しまうと、第一の疑問のような問題が起きるからです。

> 実数と自然数では、集合の濃度が違いますが、両方とも「無限に大きい数」
> を考えることができます。

いいえ。
まあ，考えたければ考えてもよいのですけど，
それは実数でも自然数でもありませんので，混乱のないように。

なお，

  lim  a_n = a
 n→∞ 

というのは，
「どんな（いうまでもないのだけど，有限の）正の実数 ε をとってきても，
ある（いうまでもないのだけど，有限の）自然数 N より大きい n に対しては
a_n と a の差がεより小さくなってます～」，というのを省略して書いたもので，
決して，n = ∞ のとき a_n = a だということではありません。

> しかし、実際は、この「無限に大きい数」は実数
> だけに存在していて、自然数のほうには、「いくらでも大きくてよいが有限」
> という数しか存在しない、と仮定すれば、この問題は解決するのですが、
> 実際、無限に桁がつづく自然数を考えることもできるような気がします。

無限に桁が続くものは，まあ，考えてもかまいませんが，
それは自然数ではありません。

えーっと。

「自然数全体の集合は無限集合ですが，無限に大きい自然数というものはないよ」
と言われて，納得できますでしょうか？

＃ 「開集合」とか「可算集合」とか難しい単語知っていらっしゃるようなのに，
＃ なぜこんなことが……。

 ／￣￣￣＼   みかみ せいこう  (mikami@is.s.u-tokyo.ac.jp)
｜うひょ♪｜  東大・理・情報・４年・はぎゃ研
 ＼＿＿＿／   http://tje12.is.s.u-tokyo.ac.jp:10000/~mikami/index.html