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河野真治 @ 琉球大学情報工学です。

In article <cfevj8$7j6$1@news00.iij4u.or.jp>, kaisyain <masu@pp.iij4u.or.jp> writes
> スピンという量子にそなわった属性は、
> Diracの相対論的方程式から自然に導けるように
> 量子の周囲の時空の構造が、量子に与える性質です。

うーん、僕は量子っていう時は、実は「時空」っていう概念はあん
まり意味がないんだと思う。状態の持つ自由度の数と、その自由度
の代数的変換関係が、時間とか空間とかスピンになるんですよね。

> 量子の周りの空間の１点から出発して、ぐるっと１回
> 回って、たどり着いた最初の地点と同じ場所は、
> 元の場所とは意味がことなるのです。

そういう群だってだけっていえば、そうなんだけど。

> いったい、どのように理解すればいいのでしょうか？

どうしても時間だけは特別扱いしなければならないあたりに謎があ
るんだと思うけど、スピンの変換と空間の回転とかには、それほど
ギャップはないんじゃないかな。 

ただ、スピンに関しては、もう少し直観的な説明があると良いな
とは思ってます

---
Shinji KONO @ Information Engineering, University of the Ryukyus
河野真治 @ 琉球大学工学部情報工学科

小林＠那須です。

スピン二価性についての私の解釈を書いてみます。誤りがあったら指摘願います。

Spinor 空間での回転は、我々の三次元空間とは独立しています。Spinor 空間での
 360 度回転は、波動関数の符号を反転させますが、我々が一回転しても波動関数の
符号は反転しません。

では、なぜ spinor 空間での 360 度回転で符号反転（スピンの二価性）が起きるの
かを以下に書いてみます。

スピン自由度は、時空が 3+1 次元を持っていることから導かれます。ディラック方
程式により 4 つの自由度が追加されます。正のエネルギー固有値に対して 2 自由度
が与えられます。この 2 自由度がスピン自由度になります。

ディラック方程式に磁場を加えてやることで、スピン自由度に対するエネルギー固
有値が分離します。即ち、磁場方向に対する Up/Down (180 度） の固有値に違いが
出てきます。この磁場に対する Up/Down(180度) を使って spinor 空間の座標軸 
|up>/|down> 90度での角度を記述することがスピンの二価性の理由です

      3 次元空間                    Spinor 空間

      磁場 H    up                      ↑|up>
      ↑↑↑ ↑                         │90度
      │││180度                 ───┼──→ |down>
      │││ ↓                         │
      │││    dwon                    │

Spinor 空間で波動関数の二自由度の重ね合わせ状態を |up>/|down> ベクタの足し
合わせで表現します。それを spinor 空間での回転角で表現すると |up> ベクタと
 |down> ベクタは 90 度の角度を持ちます。Spinor 空間での 90 度は、磁場 H の
ある三次元空間では 180 度に対応します。スピンの運動方程式を記述するとき、量
子力学でのスピンの回転角θは、Spinor 空間での回転角ではなく、対応する三次元
空間での回転角を使用しています。こうすることで、三次元の 
　　<ψ|(σx,σy,σz)h`/2|ψ>
角運動量ベクトルを自然に導けるからです。

このため、スピンを三次元空間の回転角 360 度回転させたとき、Spinor 空間では 
180 度回転させたことになります。その結果波動関数の符号反転が発生します。ス
ピン波動関数の二価性が出てきます。でも、Spnor 空間は 3 次元空間とは独立して
仮想されているものであり、実際に測定できる物理量は<ψ|(σx,σy,σz)h`/2|ψ>
 角運動量ベクトルです。特に矛盾は発生しません。

私はスピンの二価性を上のように理解しています。誤りなどを御指摘願います。

======= kVerifier Lab =========
EMAIL NoSpam_kenji@nasuinfo.or.jp
Kenji Kobayashi
===============================

Diracのベルトのトリックの話が、
河野俊丈さんの『　組みひもの数理　』に紹介されていますが、...
Penroseなどは、スピノルの２価性の意味を、量子と時空との
絡み合いのようなものとして理解しているようですが、...

ポアンカレ予想（１９０４年）のように単純な内容のものでも
４次元の場合が解かれたのは、１９８５年（８１年後）です。
次元に潜む構造は、まだまだ未知の世界が広大に広がっているように
感じてなりません。

Atiyahが、指数定理を証明し、
Topological Quantum Foeld Theoryの公理を発表し
Wittenがそれを受けて、トポロジカルな経路積分の計算法を作り、
時代は、トポロジーと解析の融合した数学の世界に踊らされていますが
そして、いづれは数学が次元の謎を解析込みで、すべて明らかにして
しまうでしょうが、...
その前に、物理の人のでる幕があるのではないでしょうか？

河野真治 @ 琉球大学情報工学です。

In article <cfq9kk$h8q$1@news00.iij4u.or.jp>, kaisyain <masu@pp.iij4u.or.jp> writes
> その前に、物理の人のでる幕があるのではないでしょうか？

あるでしょうけど、物理とか数学とかの区別は、その時点で
意味ないと思うな。 


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Shinji KONO @ Information Engineering, University of the Ryukyus
河野真治 @ 琉球大学工学部情報工学科

おそらく、Atiyah　や　Witten　の発想の根源は、
量子の非局在性の本質が、
『　その存在領域がトポロジカルに思い浮かぶすべての空間構造内に及ぶ　』
さらには、１つの箱を観測せずに２つに区切った場合をトポロジーで考えれば
容易に想像できることですが...
量子の存在は、通常のトポロジカルな同相領域の変形範囲を超えている。

こうした物理現象は、通常のトポロジーを構造的に含んで
さらに、もっと広い何かがあるに違いない...

と考えたのではないかなと思うのです。

> ??????????????????????????
> ???????????????????...


?????????????????????????????

??EPR???????????
???????????????
??????????????????????????????
???????????
????????
??????

> こうした物理現象は、通常のトポロジーを構造的に含んで
> さらに、もっと広い何かがあるに違いない...

多次元は量子の不思議をどこまで解明してくれそうでしょうか？

１）EPRのパラドックスと非局所性
２）観測と波動関数の収縮
３）波動関数の確率解釈と実在
４）粒子と波動の二重性
５）不確定性関係
６）・・・

河野真治 @ 琉球大学情報工学です。

In article <2oeh5jF9n8qbU1@uni-berlin.de>, kimura minoru <kimura@shonan.ne.jp> writes
> > こうした物理現象は、通常のトポロジーを構造的に含んで
> > さらに、もっと広い何かがあるに違いない...
> 多次元は量子の不思議をどこまで解明してくれそうでしょうか？

多次元自体は、単に複数の自由度があるってだけなので、そこに神
秘的なものはありません。

面白いのは、そこに位相とか、あるいはより強力な距離とかが入っ
た場合です。そうすると、実は、4次元、5次元あたりの方が、10 
次元とかよりも込み入っているってな話もあるみたいですね。

> １）EPRのパラドックスと非局所性
> ２）観測と波動関数の収縮
> ３）波動関数の確率解釈と実在
> ４）粒子と波動の二重性
> ５）不確定性関係
> ６）・・・

なんで関係なさそうなものばかりあげる? これらは多次元から来る
要素ではなく、量子力学の波としての性質(あるいは定義、それが
嫌なら仮定) から出て来るものです。

スピンは、おそらく4次元のトポロジーに関連して出て来ていると
思います。4次元を直接的に認識できればスピンは自明なんだと思
う。 

3次元で回転って言えば、軸にそって360度回転なんだけど、4次元
では、360度(?)回転すると3次元的に鏡像になる自然な回転がある
んですよね。

---
Shinji KONO @ Information Engineering, University of the Ryukyus
河野真治 @ 琉球大学工学部情報工学科

１つの箱を観測せずに２つに区切った場合を理解するには、
最低でも、もう１つの次元の存在が必要です。
また、そもそも波動関数が複素関数であること自身も
その次元の存在の証拠となるものと思われますが、

この場合の次元とは、ファインマンの電子の考察のように
時間の自由度なのでしょうか？

もしそうであるならば、
シュレディンガー方程式という運動方程式に現れる時間と、
波動関数が複素関数であることに隠されている時間との関係は
どうなるのでしょうか？

河野真治 @ 琉球大学情報工学です。(これ、まだ続きがあるのか...)

In article <cj4quf$h2r$1@news00.iij4u.or.jp>, kaisyain <masu@pp.iij4u.or.jp> writes
> １つの箱を観測せずに２つに区切った場合を理解するには、
> 最低でも、もう１つの次元の存在が必要です。

もう少し丁寧に書いてくれないとわかないんです。シュレディンガー
の猫の話かな。

> また、そもそも波動関数が複素関数であること自身も
> その次元の存在の証拠となるものと思われますが、

そのあたりは、
     状態の重ね合わせが線形
     観測の結果が状態に依存した確率で表される
ってのから導出されてしまうみたいですね。どうやるんだったかは
忘れたけど、近似とかハミルトニアンの形とかと関係なく導出して
いたと思います。なんの関数なのかは、実は、自由なんだと思います。
確率の積分が1にならなければならないあたりから、<Φ|Φ> = 1
が出てくるわけですね。

> この場合の次元とは、ファインマンの電子の考察のように
> 時間の自由度なのでしょうか？

これは1次元で光速で往復する電子のモデルの話ですか?

> もしそうであるならば、

ってのはわからないんだけど... (仮定がわからないから...)

> シュレディンガー方程式という運動方程式に現れる時間と、
> 波動関数が複素関数であることに隠されている時間との関係は
> どうなるのでしょうか？

それは同じものです。シュレディンガー方程式( HΦ(t) = ih/2π d/dt Φ(t) )
を解いたものが Φ(t) になりますので。でも、そこに出て来る
t は、実験で観測される時間とは間接的なつながりしかありませんけどね。
単なるパラメータだと思っても良いんじゃないかな。

---
Shinji KONO @ Information Engineering, University of the Ryukyus
河野真治 @ 琉球大学工学部情報工学科

こんばんは, 宮本です。フォローが遅くなってしまいました。

<cfh27i$1k8b$1@news.jaipa.or.jp>の記事において
kenji@nasuinfo.or.jpさんは書きました。

kenji>>磁場を加えてやることで、スピン自由度に対するエネルギー固有値が
kenji>>分離します。即ち、磁場方向に対する Up/Down (180 度） の固有値に
kenji>>違いが出てきます。この磁場に対する Up/Down(180度) を使って 
kenji>>spinor 空間の座標軸 |up>/|down> 90度での角度を記述することが
kenji>>スピンの二価性の理由です
kenji>>
kenji>>      3 次元空間                    Spinor 空間
kenji>>
kenji>>      磁場 H    up                      ↑|up>
kenji>>      ↑↑↑ ↑                         │90度
kenji>>      │││180度                 ───┼──→ |down>
kenji>>      │││ ↓                         │
kenji>>      │││    dwon                    │

スピノル空間で |up> と |down> とが (規格直交した) 基底を張っていて, 
任意のスピン状態をこの二つの線形結合で表現できるという意味で, 上記の
右図はイメージとしては良いと思います。

あえて難点を言えば, スピノル空間に幾何学的な 90度 という概念があるのか
どうか不明という点です。直交していることから内積 <up|down> がゼロで, 
その意味では互いのなす角が 90度 と言っても良いかもしれないけど, それでも
概念として内積を |a|*|b|*cosθ に対応させた場合の喩え話にすぎません。
じつはこのことは後でも効いてきます。

左の三次元空間の図は, ちょっと問題アリです。(なお磁場方向を z とします。)
互いに相関のない多数のスピンの集団があったときの, |up> と |down> の
それぞれの平均の方向, あるいは |up> または |down> であるスピンの集団の
それぞれの巨視的な磁化の方向と言ってもいいが, それは z および -z 方向で
あるという意味では, 上の左の図は正しいといえるでしょう。

しかし単独の, 孤立した一個だけのスピンについての図としては, あやまりです。
スピンのノルムの二乗と z 成分の大きさを与える演算子をそれぞれ S2 と Sz と
します。すると教科書にある通り, S2 |up> = \hbar^2 S(S+1) |up>  ないし  
Sz |up> = \hbar 1/2 |up>  になります。S=1/2 ですから |up> の長さは 
sqrt(S(S+1))=sqrt(3/4)=sqrt(0.75)=0.866 となります。一方で |up> の 
z 軸への射影は 0.5 ですから, |up> と z軸 (すなわち磁場方向) とのなす
角 θ は, cosθ=0.5/0.866=0.577 すなわち θ=54.7度 ということになります。
すなわち個々のスピンは, z方向を向いているわけではない。z から 54.7度 の
角度をなすコーン(円錐)の方向のどこかにいる。

kenji>>このため、スピンを三次元空間の回転角 360 度回転させたとき、
kenji>>Spinor 空間では 180 度回転させたことになります。その結果波動関数の
kenji>>符号反転が発生します。

それから, スピンの二価性 (三次元空間での360度回転で波動関数の符号反転) は, 
任意の軸での回転です。磁場方向の z軸とか, z に直交する軸とか, z に斜めの
軸とか, 何でもよかったはずです。小林さんの説明では, 空間では z に垂直な軸
(無限個ある) とスピノル空間の図の面に垂直な軸 (一個) に何らかの対応があって, 
その限られた軸での回転の話になってしまっているように読み取れます。
この後半のスピノル空間での幾何学的な角度 (方向) に意味があるのかどうかも, 
やはり不明ですが。

-- 
Ryo MIYAMOTO; rmiya@cc.hirosaki-u.ac.jp; 

<p>
<pre>

>> １つの箱を観測せずに２つに区切った場合を理解するには、
>> 最低でも、もう１つの次元の存在が必要です。

Ｈ = <b>ｐ</b><sup>２</sup>/(２ｍ) + δ(|x-x<sub>０</sub>|)δ(|y-y<sub>０
</sub>|)δ(|z-z<sub>０</sub>|)
の箱の中で自由運動する量子を用意し、

x = 0 (y-z平面)に壁δ(x)を置く前後で、観測を行わない場合
量子は、x < 0、x > 0の両方に広がって存在する。
この現象は、トンネル効果の極端なケースですが、
波動関数が複素関数であることの意味をハッキリと教えています。

恐らくは、もっとハッキリとさせるため２つに区切られた箱を分離して
別々の場所に移動させても、その両方に広がって存在するのでしょう。

３次元の立方体内部１つと、
それを真ん中で切って２つにしてしまった立方体内部は、
３次元トポロジーの同相変形で実現できるものではありません。

２つの立方体内部を幾何学的につなぐものは、もう１つの次元しかありません。

>> シュレディンガー方程式という運動方程式に現れる時間と、
>> 波動関数が複素関数であることに隠されている時間との関係は
>> どうなるのでしょうか？

この質問は、的外れでした。
ディラックの有名な言葉に、<b>電子は自分自身と干渉する</b>
というのがありますが、
量子は、ディラックの教科書にあるように、一般的な高次元の代数で
表現されるようなものです。
でも、多体系解析力学のパラメータ空間である高次元空間が、
系全体の状態を<b>俯瞰的に表現するためのもの</b>であるのと違って、
箱の例でも明らかなように状況を幾何学的に理解しようとした場合、
もう１つの次元は、その次元自身が間接的にとは言え、
観測に触れるという意味で<b>実在する</b>ものであり、
その<b>物理的考察</b>が必要です。

よく知られたように、複素関数はヒルベルト空間よりも
</b>トポロジーの考察</b>には適していますし、
ヒルベルト空間自体、超関数の導入をさけるための迂回？かも知れませんし、
その超関数の最も広い範囲をカバーする概念は、佐藤超函数であって、
１変数の佐藤超函数は、留数の公式とδ関数の公式の類似性が暗示するように
複素函数で定義されます。

時代は、
素粒子の内部運動レベルの観測データから
素粒子内部で予想される運動が、
１次元の対象からもたらされる事を突き止めたのを受けて、
その力学を作ろうとする方向と、

一方で、湯川以来、素粒子の数は増え続け、
素粒子の基本的な<b>互いに他を生成する</b>関係の実験が
素粒子同士を衝突させる事で、様々行われた。
衝突の過程で、保存する新たな物理量も増え続けて行きました。
新たな保存量は、時空の各点に存在する素粒子の内部の対称性
としてゲージ理論の中へと集約されて行きました。

こうした時代の流れの中で、
広がった存在としての量子の役割は、
そうしたモデルを構成した後の段階で初めて登場します。
そのモデルを量子化という手順で高次元代数の世界へ
一気に持ち込むのです。


</pre>
</p>

ニューヨーク州立大学　Stony Brook校
C.N. Yang Institute for Theoretical Physicsの
Warren Siegelさんが公開している
『　場の理論　』の本（ p 796 )
http://insti.physics.sunysb.edu/~siegel/Fields2.pdf
は、
ランダウ亡き後の理論教程の一翼を担うくらいの
勢いをもって書かれています。
もっとも、思想的一貫性ではランダウとは
比較にはなりませんが、数学の扱いも
まあまあ親切です。


大阪大学核物理研究センター 助教授の保坂　淳さんが、
原子核三者若手夏の学校２００２（東工大）で行った講義
『ハドロン物理におけるカイラル対称性－－基本的な考え方と方法』
( p 63 )
http://www.rcnp.osaka-u.ac.jp/~hosaka/lect_grad/school2002.pdf
は、実験を踏まえた素粒子の理論の解説として素晴らしいです。

> 量子の非局在性の本質が、
> 『　その存在領域がトポロジカルに思い浮かぶすべての空間構造内に及ぶ　』
> さらには、１つの箱を観測せずに２つに区切った場合をトポロジーで考えれば
> 容易に想像できることですが...
> 量子の存在は、通常のトポロジカルな同相領域の変形範囲を超えている。
> 
> こうした物理現象は、通常のトポロジーを構造的に含んで
> さらに、もっと広い何かがあるに違いない...

まさに、共形場理論とは
トポロジカルな（計量によらない）領域の変形で
複素函数が受ける変化を調べたものであり、
その結果、そこにはビラソロ代数という構造が
存在することが分かりました。

そこに展開する世界は、
ソリトン理論の展開から生まれた可積分系の数学
を刺激して行きました。

サイエンス社　発行
白石　潤一さん（東大　数理科学研）の

量子可積分系入門　( p 198 ) \1.970

は、物理出身の人らしく
数学のフレームだけを、うまく抽出して書かれてます。

>Ｈ = ｐ２/(２ｍ) + δ(|x-x０|)δ(|y-y０|)δ(|z-z０|)
>> の箱の中で自由運動する量子を用意し、
>>
>> x = 0 (y-z平面)に壁δ(x)を置く前後で、観測を行わない場合
>> 量子は、x < 0、x > 0の両方に広がって存在する。
>> この現象は、トンネル効果の極端なケースですが、
>> 波動関数が複素関数であることの意味をハッキリと教えています。


この現象は、
 　すでにポテンシャル井戸中に、量子の存在が確認された後で、
 　それ以降に外へ漏れ出す、言わば量子が従う力学の結果である
　『トンネル効果』とは異なり、
量子が行う一切の運動とは異なる
量子の存在自体の性質によるものであって、

量子というものが、
その存在を確定しない場合、
いかに通常の３次元空間に存在する物質とは異なる
存在のし方をしているかを示すものでした。



>> 恐らくは、もっとハッキリとさせるため２つに区切られた箱を分離して
>> 別々の場所に移動させても、その両方に広がって存在するのでしょう。


これは、
箱は貫通し、内部の量子とは相互作用する別の量子の照射により、
両方に存在すると結論せざるを得ない干渉結果が出るという
佐藤文隆さんの　岩波新書『宇宙論への招待』の p196に
紹介されているもので、
文献まで示すことは出来ませんが、恐らく
実際に行われた実験も存在するものと思われます。

この現象は、
  　すでにポテンシャル井戸中に、量子の存在が確認された後で、
　　それ以降に外へ漏れ出す、言わば量子が従う力学の結果である
 　『トンネル効果』とは異なり、
量子が行う一切の運動とは異なる
量子の存在自体の性質によるものであって、

量子というものが、
その存在を確定しない場合、
いかに通常の３次元空間に存在する物質とは異なる
存在のし方をしているかを示すものでした。

→

この現象は、
　　すでにポテンシャル井戸中に、量子の存在が確認された後で、
　　それ以降に外へ漏れ出す、言わば量子が行う運動の結果である
　　『トンネル効果』とは異なり、
量子が行う一切の運動とは異なる
量子の存在自体の性質によるものであって、

量子というものが、
その存在を確定しない場合、
いかに３次元空間に存在するマクロな物質とは異なる
存在のし方をしているかを示すものでした。

>>> １つの箱を観測せずに２つに区切った場合を理解するには、
>>> 最低でも、もう１つの次元の存在が必要です。
> 
> Ｈ = ｐ２/(２ｍ) + δ(|x-x０|)δ(|y-y０|)δ(|z-z０|)
> の箱の中で自由運動する量子を用意し、
> 
> x = 0 (y-z平面)に壁δ(x)を置く前後で、観測を行わない場合
> 量子は、x < 0、x > 0の両方に広がって存在する。


この問題の設定で重要なのは、
時間に依存するポテンシャルの変化が
働いている点にあります。

その変化は量子の存在範囲の空間を
その量子に一切触れずに、
変更するものになっています。

量子は、その存在のあり方で人を欺く性質を
持っていますが、
この性質によって、逆に量子自身は
縛られた存在となっている事が、
この問題の設定で見えてきます。

その存在を確定しない限り。
おかしな範囲に存在せざるを得なくなる訳です。

まだまだ、いろいろな問題設定が可能であり、
その存在を確定せずに、その存在のあり方を
追い詰めていく方向がありうると思います。

箱の中の量子には、
エーレンフェストの定理によって
おおまかには、古典的運動のイメージを
作ることが可能です。

すると、壁に衝突するイメージが生じます。
この衝突によって、図らずも　
reductionを起してしまうものなのか？
ということです。

　

箱の中の量子には、
エーレンフェストの定理によって
おおまかには、古典的運動のイメージを
作ることが可能です。

すると、壁に衝突するイメージが生じます。
この衝突によって、図らずも　
reductionを起してしまうものなのでしょうか？