🚀 go-pugleaf

Ignacio Larrosa Ca�estro wrote:
> superpollo wrote:

Voy con la f�cil, que tengo una monta�a de ex�menes por corregir.

>> B = sum(1/((2n - 1)(4n - 1)), n,1, inf)

 B = sum(1/(2n - 1) - 2/(4n - 1), n,1, inf)

Aqui puede corresrse el riesgo de suponer que

B = Sum((-1)^(n - 1)/(2n - 1), n, 1, inf) = arctg(1) = pi/4

pero esto es un error, pues estamos reordenando una serie condicionalmente 
convergente.

Asi que procedamos con un n�mero finito de t�rminos. Sea

B(2k) =  Sum(1/((2n - 1)(4n - 1)), n, 1, 2k) = Sum(1/(2n - 1) - 2/(4n - 1), 
n, 1, 2k)

 = Sum((-1)^(n - 1)/(2n - 1), n, 1, 2k) - 2(Sum(1/(4n-1), n, 1, 2k) - 
Sum(1/(4n-1), n, 1, 2k))

 = pi/4 + O(k) - 2(S(2k) - S(k))

T(k) = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... - 1/k = pi/4 + O(k)

con

S(k) = Sum(1/(4n-1), n, 1, 2k) = 1/3 + 1/7 + 1/11 + 1/15 + ...

Para hallar esta suma, recordemos que

H(k) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + .... + 1/k = ln(k) + g + O(k)

H(2k) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + .... + 1/(2k) = ln(2k) + g + O(k)

P(2k) = 1/2 + 1/4 + 1/6 + ... +1/(2k) = (1/2)H(2k) = (1/2) ln(2k) + g/2 + 
O(k)

I(2k) = H(2k) - P(2k) = 1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/(2k - 1) = (1/2)ln(2) + 
(1/2)ln(k) + g/2 +O(k)

S(2k) = (1/2)(I(2k) + T(2k)) =  1 + 1/5 + 1/9 + ...  = (1/4)ln(2) + 
(1/4)ln(k) + g/4 + pi/8 + O(k)

S(k) = (1/4)ln(2) + (1/4)ln(k/2) + g/4 + pi/8 + O(k)    (k par)

S(2k) - S(k) = (1/4)ln(2) + O(k)

Finalmente entonces,

B(k) = pi/4 - ln(2)/2 + O(k)  ===>  B = pi/4 - ln(2)/2


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Saludos,

Ignacio Larrosa Ca�estro
A Coru�a (Espa�a)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS@mundo-r.com
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/