🚀 go-pugleaf

"superpollo" <superpollo@tznvy.pbz> schrieb im Newsbeitrag 
news:4eb50aa5$0$1393$4fafbaef@reader1.news.tin.it...
>A = sum(1/((2n-1)(3n-1)),n,1,inf)
>
> B = sum(1/((2n-1)(4n-1)),n,1,inf)
>
> C = sum(1/((3n-1)(4n-1)),n,1,inf)
>
> ciao, besos

He tomado la ocasi�n de estudiar el problema m�s generalmente.
Con eso podemos calcular sumas de forma

sG = Sum( 1/a(n), (n,0,oo) )

con a(n) un pol�nomio del grado >1 en n,
y tambien estos productos relacionadas

pG = Product( 1- 1/a(n), (n,0,oo) ).

Las ideas son

1) estuidar expresi�nes "regularizadas" (x/a(n) en vez de 1/a(n)) 
primero y despu�s dejar x->1
2) estudiar productos en vez de sumas (resulta ser m�s general)
3) hallar los ceros del producto y usar el teorema que funciones se 
puede definir por sus ceros
4) darse cuenta que la funci�n Gamma(n) de Euler tiene polos en 
n=0,-1,-2,..., y 1/Gamma(n) ceros en estos puntos.

A continuaci�n el desarollo de mi does mensajes anteriores.

> Estoy en el camino de estudiar los productos
>
> pA (x) = Product ( 1 - x/((2n-1)(3n-1),(n,1,oo) ) = Product ( 1 - 
> x/((2n+1)(3n+2),(n,0,oo) )
> pB (x) = Product ( 1 - x/((2n-1)(4n-1),(n,1,oo) ) = Product ( 1 - 
> x/((2n+1)(3n+3),(n,0,oo) )
> pC (x) = Product ( 1 - x/((3n-1)(4n-1),(n,1,oo) ) = Product ( 1 - 
> x/((3n+2)(4n+3),(n,0,oo) )
>
> o m�s generalmente
>
> para k>1, m>1
>
> pG (x) = Product ( 1 - x/((k.n-1)(m.n-1),(n,1,oo) )= Product ( 1 - 
> x/((k.n+(k-1))(m.n+(m-1)),(n,1,oo) ),
>
> Desarollando estos productos por potencias de x nos da en el primero 
> coeficiente las sumas buscadas.
>
> Ahora, los pX(x) son funciones holomorfas (es correcto en 
> castellano?) en x y tienen ceros en los puntos
>
> x = ((k.n+(k-1))(m.n+(m-1)) = (k.m)n^2 -(k+m)n + 1, n=1,2,...
>
> Solucionando la cuadr�tica por n nos da
>
> n1 = (k + m - 2 k m + Sqrt[k^2 - 2 k m + m^2 + 4 k m x])/(2 k m)}
> n2 = (k + m - 2 k m - Sqrt[k^2 - 2 k m + m^2 + 4 k m x])/(2 k m)}}
>
> La funci�n pG(x) tiene ceros en todos los puntos n+ y n- = 0,1,2,...
>

Ahora recordemos que la funci�n Gamma(z) de Euler tiene simples *polos* 
en z=0,-1,-2,-3, ... que significa que
1/Gamma(n) tiene ceros en estos puntos.

Por eso podemos escribir

>
> pG(x) = cte /( (Gamma(-n1(x))(Gamma(-n2(x)) )
>
> donde cte = (Gamma(-n1(x=0))(Gamma(-n2(x=0)) ya que pG(x=0)=1.
>
> Ejemplos
>
> pA(x) = (Sqrt[Pi] Gamma[2/3])/(Gamma[(1/12) (7 - Sqrt[1 + 24 x])] 
> Gamma[(1/12)(7 + Sqrt[1 + 24 x])])
>
> pB(x) = (Sqrt[Pi]Gamma[3/4])/(Gamma[5/8 - (1/8)Sqrt[1 + 8 x]] 
> Gamma[(1/8)(5 + Sqrt[1 + 8x])])
>
> pC(x) = (Gamma[2/3]Gamma[3/4])/(Gamma[(1/24)(17 - Sqrt[1 + 48 x])] 
> Gamma[(1/24)(17 + Sqrt[1 + 48 x])])
>

Ahora s�lo nos queda desarollar las funciones pA... en potencias de x.
El coeficiente de (-x) ser� la suma buscada, respectivamente.

La diferenciaci�n lleva a la llamada funci�n Digamma(x) 
(=Gamma'(x)/Gamma(x)).

Hallamos las expresiones de Ignacio.

La formulaci�n general ser�a la siguiente.

Consideremos el producto

pG(x) = Product( 1 - x/a(n), (n,0,oo) )

donde a(n) sea un pol�nomio del grado k.

Las ra�ces de la ecuaci�n

a(n) = x

sean

n1(x), n2(x), ..., n(k).

Entonces

pG(x) = const / ( Gamma(-n1(x))Gamma(-n2(x))...Gamma(nk(x)) )

const = tal que pG(0) = 1, es decir

const = ( Gamma(-n1(0))Gamma(-n2(0))...Gamma(nk(0)) )

Finalmente, no afirmo que las resultados de aqu� nos ayuden mucho para 
obtener m�s f�cilmente las sumas pedidas que directamente jugando con 
las series y recordarse de series famosas, pero tal vez ellos nos dan 
una vista general y demuestran correlaciones entre sumas y productos.

Saludos,
Wolfgang