🚀 go-pugleaf

secondo voi dove sbaglio?

                   Caso nn relativistico
sia S=S(t) te[ti, tf] una curva che descrive il punto
materiale di massa m, al solito la funzione velocita' v=S'

P=mv         quantita' di moto  te[ti, tf] 
F=P'=mv'     forza              te[ti, tf]

Si definisce l'incremento di energia al tempo te[ti, tf]
nell'intervallo di tempo [t, t+Dt] ove la F si mantiene costante

DE = F o DS = F(t) o (S(t+Dt)-S(t))
ove al solito o � il prodotto scalare ed DS ed F sono vettori di R^3

Da questo, l'incremento di energia nell'intervallo [ti, tf] 
del punto materiale
sara' 
l'integrale curvilineo della funzione F o S'/|S'| sulla curva S

     /           /
IE =|  F o ds = |    (mv' o v/|v|) ds =
    /S          / S


   /tf                       /tf
= |  (mv' o v/|v|) |v| dt = |   (mv' o v)dt = 
  /ti                       /ti


   /tf  
= |   m(vx*vx'+vy*vy'+vz*vz')dt=
  /ti                           

   /tf
= |   m[(vx^2/2)'+(vx^2/2)'+(vx^2/2)'] dt =
  /ti

   /tf               |         |tf     1               1
= |   (m*v^2/2)' dt =| m*v^2/2 |    = --- m v(tf)^2 - --- m v(ti)^2
  /ti                |         |ti     2               2

che nn dipende dalla curva S ma solo dalle velocita' iniziale e finale

L'energia cinetica del punto materiale di massa m e
traiettoria S al tempo te[ti, tf] sara' definita come:

      1
Ec = --- m v(t)^2
      2

quindi l'incremento di energia tra gli istanti ti e tf
sara' uguale alla differenza di energia cinetica rispettivamente
in tali istanti

----------------------------------------------

                Caso relativistico
sia S=S(t) te[ti, tf] una curva che descrive il punto
materiale di massa m, al solito la funzione velocita' v=S'
S:[ti, tf]->R^3
                        Definizioni di fisica 
        m0 * v
P=mv= ------------------                   quantita' di moto
      (1-v^2/c^2)^(1/2)

             d         v
F=P' = m0 * ---- ------------------        forza
             dt   (1-v^2/c^2)^(1/2)

Si definisce l'incremento di energia al tempo te[ti, tf]
nell'intervallo di tempo [t, t+Dt] ove la F si mantiene costante
             
DE = F o DS = F(t) o (S(t+Dt)-S(t))

ove al solito o � il prodotto scalare ed DS ed F sono vettori di R^3

Da questo, l'incremento di energia del punto materiale
nell'intervallo [ti, tf] sara' 

l'integrale curvilineo della funzione F o S'/|S'| sulla curva S
                 
     /           / tf    d      m0 * v
IE = |  F o ds = |    ((---- ------------ ) o v/|v| ) * |v|dt  
     /           /       dt  (1-v^2/c^2)^(1/2)
      S           ti

in pratica la teoria matematica � l'integrazione di una funzione su
una curva [si devono fare gli integrali curvilinei]

  /        / tf  
 |  f ds = |    f(S(t)) |S'(t)| dt
 /         /
  S         ti


ove f=F(S, S', t) o S'/|S'|

quindi:

     / tf    d      m0 * v
IE = |     [ ---- (------------------) o v] dt  
     / ti    dt    (1-v^2/c^2)^(1/2)

dalla formula:

 v' o w = (v o w)' - (v o w')

si ottiene

  d      m0 * v                d       v^2
[ --- (-----------) o v] = m0* -- (-----------------)  -
  dt   (1-v^2/c^2)             dt  (1-v^2/c^2)^(1/2)

       m0 v
- -----------------  o v' = 
  (1-v^2/c^2)^(1/2)

si possono trovare le primitive e scrivere

   d        m0* v^2
= --- [ ------------------  + c^2 * m0 * (1-v^2/c^2)^(1/2)  ]
   dt    (1-v^2/c^2)^(1/2)

     |     m0* v^2                                      |tf
IE = |------------------  + c^2 * m0 * (1-v^2/c^2)^(1/2)|  = 
     | (1-v^2/c^2)^(1/2)                                |ti


  |    m0* c^2       |tf         m0 c^2           
= |------------------|  = --------------------- - 
  |(1-v^2/c^2)^(1/2) |ti  (1-v(tf)^2/c^2)^(1/2)    

        m0 c^2 
- ---------------------
  (1-v(ti)^2/c^2)^(1/2)
  
notiamo che il risultato nn dipende dalla curva ma solo dalla
velocita' iniziale [v(ti)] e la velocita' finale [v(tf)]...

Da che possiamo definire l'energia totale 
di detto punto materiale all'istante t:

            m0 c^2   
Et(t)= --------------------- 
       (1-v(t)^2/c^2)^(1/2)

e l'energia cinetica relativistica
[notare che la definizione di sotto di Ec per v<<c 
e' quella Ec nn relativistica]

            m0 c^2   
Ec = --------------------- - m0 c^2
     (1-v(t)^2/c^2)^(1/2)

notiamo che l'energia totale di un punto materiale 
quando la sua velocita' � zero �:

Et = m0 c^2

e spunta la famosa equazione...

quindi l'incremento di energia tra gli istanti ti e tf
sara' uguale alla differenza di energia totale rispettivamente
in tali istanti

Et = m0 c^2

effettivamente ha un significato fisico poiche' hanno dimostrato che
effettivamente parte della massa m0 puo' scomparire x ricomparire come
energia cinetica di particelle scomposte dalla massa m0
oppure come fotoni