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Una corecci�n, que no afecta al resultado,

Ignacio Larrosa Ca�estro wrote:
> Ignacio Larrosa Ca�estro wrote:
>> superpollo wrote:
>
> Voy con la f�cil, que tengo una monta�a de ex�menes por corregir.
>
>>> B = sum(1/((2n - 1)(4n - 1)), n,1, inf)
>
> B = sum(1/(2n - 1) - 2/(4n - 1), n,1, inf)
>
> Aqui puede corresrse el riesgo de suponer que
>
> B = Sum((-1)^(n - 1)/(2n - 1), n, 1, inf) = arctg(1) = pi/4
>
> pero esto es un error, pues estamos reordenando una serie
> condicionalmente convergente.
>
> Asi que procedamos con un n�mero finito de t�rminos. Sea
>
> B(2k) =  Sum(1/((2n - 1)(4n - 1)), n, 1, 2k) = Sum(1/(2n - 1) - 2/(4n
> - 1), n, 1, 2k)
>
> = Sum((-1)^(n - 1)/(2n - 1), n, 1, 2k) - 2(Sum(1/(4n-1), n, 1, 2k) -
> Sum(1/(4n-1), n, 1, 2k))
>
> = pi/4 + O(k) - 2(S(2k) - S(k))
>
> T(k) = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... - 1/k = pi/4 + O(k)
>
> con
>
> S(k) = Sum(1/(4n-1), n, 1, 2k) = 1/3 + 1/7 + 1/11 + 1/15 + ...
>
> Para hallar esta suma, recordemos que
>
> H(k) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + .... + 1/k = ln(k) + g + O(k)
>
> H(2k) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + .... + 1/(2k) = ln(2k) + g + O(k)
>
> P(2k) = 1/2 + 1/4 + 1/6 + ... +1/(2k) = (1/2)H(2k) = (1/2) ln(2k) +
> g/2 + O(k)

Debe ser:

P(2k) = 1/2 + 1/4 + 1/6 + ... +1/(2k) = (1/2)H(k) = (1/2) ln(k) + g/2 + O(k)

I(2k) = H(2k) - P(2k) = 1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/(2k - 1) = ln(2) + 
(1/2)ln(k) + g/2 +O(k)

S(2k) = (1/2)(I(2k) + T(2k)) =  1 + 1/5 + 1/9 + ...  = (1/2)ln(2) + 
(1/4)ln(k) + g/4 + pi/8 + O(k)

S(k) = (1/2)ln(2) + (1/4)ln(k/2) + g/4 + pi/8 + O(k)    (k par)

 S(2k) - S(k) = (1/4)ln(2) + O(k)

> Finalmente entonces,
>
> B(k) = pi/4 - ln(2)/2 + O(k)  ===>  B = pi/4 - ln(2)/2


-- 
Saludos,

Ignacio Larrosa Ca�estro
A Coru�a (Espa�a)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS@mundo-r.com
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/