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Started by Tim Golla
Thu, 18 Feb 1999 00:00
Problem: Zahlenfolgen deren Glieder paarweise teilerfremd sind
Author: Tim Golla
Date: Thu, 18 Feb 1999 00:00
Date: Thu, 18 Feb 1999 00:00
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--------------032E5368AD9BAB250BA5CB5E Content-Type: text/plain; charset=us-ascii Content-Transfer-Encoding: 7bit Ich habe eine Aufgabe: Zwei Zahlenfolgen a1,a2,a3,... und b1,b2,b3,... werden definiert durch: a1=b1=1 an+1=an+bn bn+1=an*bn n=1,2,3,... Wie kann ich beweisen, dass die Glieder der Folge a1,a2,a3,... paarweise teilerfremd, also den ggT 1 haben? Alle a's scheinen Primzahlen zu sein, beweisen kann ich das aber leider nicht. Koennte man letzteres beweisen, waere die Aufgabe geloest. --------------032E5368AD9BAB250BA5CB5E Content-Type: text/html; charset=us-ascii Content-Transfer-Encoding: 7bit <!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.0 Transitional//EN"> <HTML> Ich habe eine Aufgabe: <BR>Zwei Zahlenfolgen a<FONT SIZE=-2>1</FONT>,a<FONT SIZE=-2>2</FONT>,a<FONT SIZE=-2>3</FONT>,... und b<FONT SIZE=-2>1</FONT>,b<FONT SIZE=-2>2</FONT>,b<FONT SIZE=-2>3</FONT>,... <BR>werden definiert durch: <BR>a<FONT SIZE=-2>1</FONT>=b<FONT SIZE=-2>1</FONT>=1 <BR>a<FONT SIZE=-2>n+1</FONT>=a<FONT SIZE=-2>n</FONT>+b<FONT SIZE=-2>n</FONT> <BR>b<FONT SIZE=-2>n+1</FONT>=a<FONT SIZE=-2>n</FONT>*b<FONT SIZE=-2>n</FONT> <BR>n=1,2,3,... <P>Wie kann ich beweisen, dass die Glieder der Folge a<FONT SIZE=-2>1</FONT>,a<FONT SIZE=-2>2</FONT>,a<FONT SIZE=-2>3</FONT>,... paarweise teilerfremd, <BR>also den ggT 1 haben? <P>Alle a's scheinen Primzahlen zu sein, beweisen kann ich das aber leider nicht. <BR>Koennte man letzteres beweisen, waere die Aufgabe geloest.</HTML> --------------032E5368AD9BAB250BA5CB5E--
Re: Problem: Zahlenfolgen deren Glieder paarweise teilerfremd sind
Author: Christian Ehrhardt
Date: Thu, 18 Feb 1999 00:00
Date: Thu, 18 Feb 1999 00:00
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On Thu, 18 Feb 1999 17:37:50 +0100, Tim Golla <xtg@gmx.net> wrote:
> Ich habe eine Aufgabe:
> Zwei Zahlenfolgen a1,a2,a3,... und b1,b2,b3,...
> werden definiert durch:
> a1=b1=1
> an+1=an+bn
> bn+1=an*bn
> n=1,2,3,...
>
> Wie kann ich beweisen, dass die Glieder der Folge a1,a2,a3,... paarweise
> teilerfremd,
> also den ggT 1 haben?
Das ist die zweite Aufgabe des im Moment laufenden Bundeswettbewerbs
Mathematik. Hier nach einer Loesung zu fragen halte ich fuer eine
Unverschaemtheit die Ihres gleichen sucht.
Die aktuellen Aufgaben gibt es uebrigens unter
http://btmdx4.mat.uni-bayreuth.de/fuemo/bundeswett/bundeswett.html.
Ich habe ausnahmsweise das X-Post beibehalten. F'up ist gesetzt.
Moechte jemand eine Mail an die Organisatoren der BWM schicken, oder
waere das unangemessen ?
> --------------032E5368AD9BAB250BA5CB5E
> Content-Type: text/html; charset=us-ascii
> Content-Transfer-Encoding: 7bit
Das auch noch! *PLONK*
sauer Christian
--
There's a fine line between fishing and standing on the shore looking
like an idiot.
--Stephen Wright
THAT'S ALL FOLKS!
Re: Problem: Zahlenfolgen deren Glieder paarweise teilerfremd sind
Author: Helmut Richter
Date: Thu, 18 Feb 1999 00:00
Date: Thu, 18 Feb 1999 00:00
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Tim Golla <xtg@gmx.net> writes: >Ich habe eine Aufgabe: >Zwei Zahlenfolgen a1,a2,a3,... und b1,b2,b3,... >werden definiert durch: >a1=b1=1 >an+1=an+bn >bn+1=an*bn >n=1,2,3,... Fragt man Sloane's Enzyklopaedie (http://www.research.att.com/~njas/sequences/), so bekommt man folgende Verweise: %I A003686 %S A003686 1,2,3,5,11,41,371,13901,5033531,69782910161,351229174914190691, %T A003686 24509789089655802510792656021, %U A003686 8608552999157278575508415639286249242844899051 %N A003686 Genealogical 1-2 trees of height n. %F A003686 a(n+1)=a(n)+a(1)a(2)...a(n-1). Also a(n+1)=a(n)+a(n-1)*(a(n)-a(n-1)), a(0)=1, a(1)=2. %K A003686 nonn,easy,huge,nice %O A003686 1,2 %A A003686 Seva Lev (seva@math.uga.edu) %D A003686 M.D. Parisse, The Tower of Hanoi and the Stern-Brocot Array, Thesis, Munich, 1997. %E A003686 Additional description from Andreas M. Hinz, Daniele Parisse (hinz@appl-math.tu-muenchen.de). >Wie kann ich beweisen, dass die Glieder der Folge a1,a2,a3,... paarweise >teilerfremd, >also den ggT 1 haben? Relativ leicht zu sehen ist, dass, wenn a[n] durch eine Primzahl p teilbar war, alle Folgenglieder nach a[n] denselben Rest modulo p haben. Da koennte man evtl. einen Beweis draus machen (wenns denn ueberhaupt wahr ist). >Alle a's scheinen Primzahlen zu sein, beweisen kann ich das aber leider >nicht. >Koennte man letzteres beweisen, waere die Aufgabe geloest. Ist nicht wahr. Z.B. 69782910161 ist durch 18493 teilbar. Helmut Richter
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